2. 量子比特控制脉冲波形生成与参数配置

任务对象与参数约定

本节在虚拟任意波形发生器（AWG）上生成两类量子比特控制脉冲：高斯型（用于降低频谱泄漏、抑制相邻能级激发）与方波型（用于对比理想矩形包络的宽带特性）。核心可调参数为幅度 A、脉冲宽度 τ、边沿时间 t_r（高斯型用 σ 表征）与采样率 f_s。为便于复现，先固定一组教学示例参数：

波形生成的关键实现

高斯包络采用截断高斯：g(t)=A·exp(−t²/(2σ²))，t∈[−τ/2, τ/2]；方波包络用升余弦边沿拼接平顶段。下面给出可直接运行的 Python 实现（仅依赖 numpy），同时输出时域采样点与 FFT 幅度谱，用于观察边沿时间对高频分量的影响。

import numpy as np

fs = 1.0e9          # 采样率 1 GSa/s
tau = 40e-9         # 脉冲宽度 40 ns
A = 0.5             # 归一化幅度
sigma = tau / 4     # 高斯标准差 10 ns
tr = 2e-9           # 方波边沿时间 2 ns

N = int(round(tau * fs))
t = (np.arange(N) - (N - 1) / 2) / fs   # 以脉冲中心为 t=0

# 高斯型
gauss = A * np.exp(-t**2 / (2 * sigma**2))

# 方波型：升余弦边沿 + 平顶
def raised_cosine_square(t, tau, tr, A):
    half = tau / 2
    edge = tr / 2
    y = np.zeros_like(t)
    flat = (np.abs(t) <= half - edge)
    y[flat] = A
    rise = (t > -half) & (t < -half + tr)
    y[rise] = A * 0.5 * (1 - np.cos(np.pi * (t[rise] + half) / tr))
    fall = (t > half - tr) & (t < half)
    y[fall] = A * 0.5 * (1 + np.cos(np.pi * (t[fall] - (half - tr)) / tr))
    return y

square = raised_cosine_square(t, tau, tr, A)

# 频域：零填充 FFT，观察包络谱
def spectrum(y, fs, nfft=4096):
    Y = np.fft.rfft(y, nfft)
    f = np.fft.rfftfreq(nfft, 1 / fs)
    return f, np.abs(Y) / len(y)

f_g, S_g = spectrum(gauss, fs)
f_s, S_s = spectrum(square, fs)

# 关键判读量：主瓣宽度、第一零点、高频滚降
print("高斯 峰值:", gauss.max(), " 采样点数:", N)
print("方波 峰值:", square.max(), " 边沿采样点:", tr * fs)
print("高斯 -20dB 带宽(近似):", f_g[np.argmax(S_g < S_g.max()*0.1)])
print("方波 -20dB 带宽(近似):", f_s[np.argmax(S_s < S_s.max()*0.1)])

运行后应看到：高斯脉冲峰值等于 A，边沿无突变；方波在 t_r=2 ns 时边沿仅占 2 个采样点，若把 t_r 降到 0.5 ns 则不足 1 个采样点，波形会出现明显台阶——这正是采样率与边沿时间必须联合配置的原因。

参数对时域与频域特征的影响

参数设置对控制保真度的潜在影响

• 边沿时间与泄漏：方波 t_r 越短，sinc 旁瓣越高，能量越容易落入 |1⟩→|2⟩ 跃迁频段，导致泄漏误差。经验上 t_r 应不小于 1/(5·Δ₁₂)，Δ₁₂ 为比特非谐性。
• 采样率与边沿分辨率：t_r·f_s 至少为 3~5 个采样点，否则 DAC 重建后的实际边沿由采样栅格决定，标称 t_r 失效。
• 幅度与旋转角：θ ∝ A·τ，A 或 τ 的误差直接转化为旋转角误差；高斯截断会损失约 4.5% 的积分面积（±2σ 截断），需在标定中补偿。
• 宽度与相干时间：τ 过长会引入退相干损失，τ 过短则带宽展宽，需在速度与泄漏之间折中。