2. 量子计算基础速览
要理解量子神经网络（QNN）为什么具备经典网络难以企及的表达潜力，必须先回到它的物理与数学底座。本节不追求量子力学的完整形式体系，而是聚焦四件事：量子比特如何被描述、叠加与纠缠意味着什么、测量如何把量子态变成经典数据、以及量子门与量子线路如何构成可执行的“量子程序”。这四点直接决定了后续 QNN 的输入编码方式、可训练参数的位置，以及输出如何被读取。
一、量子比特：用两个复数描述的状态
经典比特只能取 0 或 1，而一个量子比特（qubit）的纯态写成
|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩, α, β ∈ ℂ, |α|² + |β|² = 1其中 α、β 称为概率幅，是复数，带有模和相位两个信息维度。|α|² 与 |β|² 分别是测量得到 0 和 1 的概率。注意“概率幅”与“概率”不是一回事：概率幅可以相消或增强，这正是量子干涉的来源，也是 QNN 中相位型参数具有意义的原因。由于全局相位不可观测，一个量子比特的有效自由度常用布洛赫球上的一个点表示：极角 θ 决定 0/1 的权重，方位角 φ 决定相对相位。单比特旋转门本质上就是在这个球面上做旋转。
多比特系统的状态空间按张量积扩张：n 个量子比特的纯态由 2ⁿ 个复振幅描述，归一化条件为所有振幅模平方之和等于 1。这意味着 30 个量子比特就需要约 10⁹ 个复数来完整描述——经典模拟的代价随比特数指数增长，这是量子计算潜在优势的数学根源，也是我们在设计 QNN 时必须控制比特数与线路深度的现实原因。
二、叠加、纠缠与测量
叠加指系统同时处于多个基态的相干组合。以 Hadamard 门作用于 |0⟩ 为例，得到 (|0⟩+|1⟩)/√2，测量时各以 50% 概率得到 0 或 1。叠加本身并不“并行算出所有答案”，它提供的是一个可被后续门操作干涉的振幅分布。
纠缠指复合系统无法写成各子系统状态的张量积。典型例子是 Bell 态 (|00⟩+|11⟩)/√2：单独看每个比特都是等概率的 0/1，但两者结果完全关联。纠缠是量子线路中产生非经典关联的核心资源，QNN 中常用的 CNOT 级联、强纠缠层，目的就是让特征信息在比特间流动。
测量是量子到经典的唯一出口。在计算基下测量会以概率得到一个确定结果，并使状态坍缩到对应基态，且不可逆。因此量子线路的期望值估计必须靠“多次制备—测量—统计”完成：若某观测量 A 的测量结果为 aᵢ，则用样本均值近似 ⟨A⟩。这也解释了为什么 QNN 的训练循环里总有一个 shots（采样次数）参数——它不是精度装饰，而是直接决定梯度估计噪声的量级。
三、量子门与量子线路的基本表示
量子门是作用在量子态上的酉变换 U（满足 U†U = I），因此天然可逆、保范数。单比特门常用旋转形式参数化：
Rx(θ) = [[cos(θ/2), -i·sin(θ/2)],
[-i·sin(θ/2), cos(θ/2)]]
Ry(θ) = [[cos(θ/2), -sin(θ/2)],
[ sin(θ/2), cos(θ/2)]]
Rz(θ) = diag(e^(-iθ/2), e^(iθ/2))双比特门以 CNOT 为代表：控制比特为 1 时翻转目标比特，用于生成纠缠。任意多比特酉操作都可分解为单比特门加 CNOT 的组合，这就是“门集通用性”。量子线路的读法是：时间从左向右，每条横线是一个比特，方框是单比特门，竖线连圆点是受控门，末端仪表符号是测量。下面这张图给出一个 3 比特变分线路的典型结构，它正是后续 QNN 中“数据编码 + 可训练层 + 测量读出”的骨架。
读图要点有三：第一，编码门把经典特征 x 映射为旋转角，这一步决定了模型能表达什么样的输入分布；第二，绿色门中的 θ、φ 才是训练时被优化的变量，它们的位置和数量直接决定参数规模；第三，橙色测量块之后得到的是比特串样本，需要统计成期望值才能进入损失函数。图中 CNOT 采用“q0 控 q1、q1 控 q2”的链式连接，实际建模时也可换成环形或全连接纠缠拓扑，这属于线路设计选择。
四、一个可手算的示例：从态到期望值
设两比特初态 |00⟩，先对 q0 施加 Ry(π/2)，得到 (|0⟩+|1⟩)/√2 ⊗ |0⟩；再施加 CNOT(q0→q1)，得到 Bell 态 (|00⟩+|11⟩)/√2。此时测量 q0 得 0 或 1 各 50%，且 q1 必然与 q0 相同。若观测量取 Z₀Z₁（两比特 Pauli-Z 的乘积），由于 |00⟩ 与 |11⟩ 的本征值均为 +1，理论期望 ⟨Z₀Z₁⟩ = 1；而单比特 ⟨Z₀⟩ = 0。这个对比清楚说明：纠缠使联合观测量携带了单比特观测量没有的信息，QNN 的输出层因此常设计为多比特联合观测。
若把 shots 设为 1024，实测 ⟨Z₀Z₁⟩ 会接近 1 但不会精确等于 1，偏差量级约与 1/√shots 同阶。工程上通常先用 1024～4096 shots 做快速验证，再在收敛阶段提高采样数或采用解析梯度、参数移位等低噪声估计手段。
五、为 QNN 建模要建立的几条直觉
- 参数必须放在酉门里。可训练量是旋转角，不是振幅本身；振幅由线路结构间接决定。
- 深度与纠缠要克制。层数增加会提升表达力，但在含噪环境下也放大误差，且带来“贫瘠高原”导致梯度消失的风险。
- 测量次数是超参数。shots 影响梯度噪声与训练稳定性，应与学习率、优化器一起考虑。
- 输出是统计量。QNN 前向传播的终点是期望值或概率分布，而非单次测量结果。