4. 基编码与计算基嵌入

在量子特征映射的诸多方案中，基编码（basis encoding）是最直接、也最容易被低估的一种。它的核心思想只有一句话：把离散类别或整数数据直接映射为计算基态的下标。一个 n 量子比特的寄存器共有 2ⁿ 个计算基态 |0…0⟩ 到 |1…1⟩，基编码就是让数据值决定"落在哪一个基态上"，而不是让数据值决定振幅或相位。

理解基编码的关键在于区分"下标"与"内容"。在基编码中，信息完全承载在基态的编号里，振幅是确定的（目标基态振幅为 1，其余为 0），相位没有额外含义。这与振幅编码把数据摊到 2ⁿ 个振幅上、角度编码把数据放进旋转角里形成鲜明对比。正因为信息在"下标"上，基编码天然适合表达离散、无序、类别型的对象，而不适合表达连续实值。

比特数需求：从类别数到寄存器宽度

基编码的第一个工程决策是确定寄存器宽度 n。若待编码的离散取值共有 K 个（K 个类别，或整数范围 0 到 K−1），则需要满足 2ⁿ ≥ K 的最小整数 n，即 n = ⌈log₂K⌉。例如 4 个类别只需 2 个量子比特（|00⟩、|01⟩、|10⟩、|11⟩），8 个类别需要 3 个量子比特，而 10 个类别同样需要 4 个量子比特——因为 2³=8 不够，必须进位到 2⁴=16。这里有一个常被忽视的细节：当 K 不是 2 的幂时，会有一部分基态（如 10 类别时的 |1010⟩ 到 |1111⟩）成为"空位"，它们不对应任何合法类别，需要在后续处理中显式排除或屏蔽。

下表给出几个典型规模下的比特数需求，可作为设计时的速查参考（数值为按公式计算的理论值）：

可以看到，基编码的比特需求随类别数呈对数增长，这是它相对 one-hot 经典编码的巨大优势：100 个类别在经典 one-hot 下需要 100 维向量，而在基编码下只需 7 个量子比特。但也要清醒认识到，对数增长换来的是"每个基态只承载一个样本"——若要把 N 个样本同时编码，通常需要 N 个寄存器或 N 次态制备，这一点在批量数据处理时必须纳入考量。

数据预处理：把原始标签变成合法下标

基编码对输入数据有明确要求，预处理环节不可跳过。第一步是类别到整数的映射：为每个类别分配一个唯一整数标签 0, 1, …, K−1，映射表必须固定并记录，保证训练与推理阶段一致。第二步是整数到二进制的转换：把整数标签写成 n 位二进制串，位序约定必须显式声明。例如约定"最高位对应第 n−1 号量子比特"，则类别 5 在 3 比特下写作 101，对应 |q₂q₁q₀⟩ = |101⟩。第三步是合法性检查：确认所有标签都落在 [0, K−1] 内，且二进制串长度恰为 n，避免因位宽不足导致截断。

下面是一段可直接参考的预处理示例（Python 伪代码，参数为示例设定）：

import math

# 示例：10 个类别的标签映射与基编码
categories = ["cat", "dog", "bird", "fish", "horse",
              "cow", "sheep", "goat", "rabbit", "duck"]
label_map = {c: i for i, c in enumerate(categories)}   # 类别 -> 整数
K = len(categories)
n = math.ceil(math.log2(K))                            # n = 4

def to_basis_string(label):
    idx = label_map[label]
    assert 0 <= idx < K, "标签越界"
    return format(idx, f"0{n}b")                       # 固定 n 位，高位补零

print(to_basis_string("duck"))   # 输出 '1001'，对应 |1001>
print(to_basis_string("cat"))    # 输出 '0000'，对应 |0000>

这段代码体现了三个要点：位宽由 K 反推、二进制串固定长度补零、越界断言。实际工程中还应把 label_map 序列化保存，否则一旦类别顺序变动，同一个基态就会指向不同语义，造成难以排查的标签错位。

态制备：从二进制串到计算基态

得到二进制串后，态制备的任务是把寄存器从默认的 |0…0⟩ 翻转到目标基态。最直接的做法是对每一位为 1 的量子比特施加 Pauli-X 门。例如目标为 |1001⟩，则对第 3 位和第 0 位各施加一次 X 门，其余位保持不动。由于计算基态是 X 门的本征态，这一操作是确定性的，不需要测量、不引入概率，也不产生纠缠——这正是基编码"干净"的地方。

下图展示了本节的核心结构：从离散类别出发，经整数映射与二进制展开，最终落到计算基态下标上，并标出了比特数需求与空位的关系。

典型分类任务中的直接应用

基编码在分类任务中最自然的用法，是作为标签寄存器与特征寄存器配合。以二分类为例，标签只需 1 个量子比特：类别 A 编码为 |0⟩，类别 B 编码为 |1⟩。在变分分类器或量子核方法中，标签寄存器常被用作受控操作的控制器，或用于构造监督态的叠加。多分类时，标签寄存器扩展到 n 位，每个基态对应一个类别，分类器的输出测量就变成"读出哪个基态的概率最大"。

一个具体的教学示例：假设有 4 个类别的鸢尾花简化任务，标签寄存器取 2 比特，映射为 setosa→|00⟩、versicolor→|01⟩、virginica→|10⟩、第四类→|11⟩。训练时，对每个样本制备"特征态 ⊗ 标签基态"，标签部分通过 X 门确定性制备；推理时只测量标签寄存器，统计 2 比特的测量分布，取概率最高的基态作为预测类别。这里需要强调：基编码的标签是确定性的，不携带叠加信息，因此它不会像振幅编码那样在标签上引入额外的概率幅干扰，读出的分布形状直接反映分类器的不确定性。

另一个常见场景是索引编码：在量子数据库或量子随机存取结构中，把样本编号 i 编码为 |i⟩，作为地址寄存器去索引第 i 个数据项。此时比特数需求同样由样本总数决定，预处理只需保证编号连续且从 0 开始。这类应用对位序约定尤其敏感，地址位与数据位的对应关系一旦错位，取出的就是错误样本。

总结来看，基编码把"离散类别或整数"这一最朴素的数据形态，用最少的量子比特、最确定的态制备方式嵌入到计算基中。掌握比特数反推、标签映射固定、位序显式声明、空位显式屏蔽这四个环节，就能在分类任务的标签寄存器、索引寄存器等位置稳定地使用它，并为后续与振幅编码、角度编码的组合打下基础。