4. 基准数据集的量子特性刻画指标

经典基准数据集用准确率、F1、推理时延等指标就能大致刻画难度与价值，但量子机器学习的数据集面对的是希尔伯特空间中的态、酉变换与测量结果，仅靠“样本数×特征维数”无法说明问题。一个 8 量子比特的数据集与一个 20 量子比特的数据集，差距不只是维数从 256 变成约一百万，更在于其态空间可承载的纠缠结构、线路可实现的变换族、以及参数化线路能否被有效训练。因此，基准数据集必须为每条样本或每个任务附加一组量子特性指标，让使用者能判断“这份数据到底难在哪、适合检验什么能力”。本节围绕纠缠度、量子体积、表达力、梯度可训练性四类指标展开，并给出把它们写入元数据的具体做法。

四类指标的定义与计算口径

纠缠度刻画多体量子态不可分解为子系统直积的程度。工程上最常用的是二分纯态的冯·诺依曼熵：对态 |ψ⟩ 按二分 A|B 求约化密度矩阵 ρ_A = Tr_B(|ψ⟩⟨ψ|)，纠缠度 E = −Tr(ρ_A log₂ ρ_A)，单位为 ebit，取值范围 0 到 min(|A|,|B|)。对混合态则可用对数负度或纠缠负度。数据集元数据中应记录：二分方式（如按量子比特序号前一半/后一半切分）、平均纠缠度、纠缠度分布的分位数（如 25%/50%/75%），以及是否包含最大纠缠样本（如 Bell 态、GHZ 态）。示例：一个 6 比特数据集若按 3|3 切分，平均纠缠度 1.8 ebit、75 分位 2.4 ebit，说明多数样本处于中高纠缠区，适合检验模型对非局域关联的利用能力。

量子体积（Quantum Volume, QV）原本是衡量量子处理器整体能力的指标，定义为 QV = 2^n，其中 n 是能可靠执行的最大方形随机线路宽度（深度等于宽度，含随机两比特门与置换）。在数据集语境中，它更适合作为“任务所需线路能力”的标签：为每个任务标注其参考线路的宽度 n 与深度 d，并给出等效 QV 需求 2^min(n,d)。这样使用者能快速判断某数据集能否在给定硬件上运行。例如某分类任务参考线路为 10 比特、深度 12，则其 QV 需求约为 2^10 = 1024，若目标设备实测 QV 只有 256，则该任务不适合直接上机。

表达力衡量参数化量子线路所能生成的态集合覆盖目标态空间的程度。常用做法是计算线路的李代数维数或采用框架势（frame potential）与 Haar 随机态的偏离程度；工程上更易操作的是有效表达力：在参数空间随机采样若干组参数，统计生成态之间的保真度分布，若分布接近 Haar 测度的理论值则表达力高。元数据中可记录：线路模板名（如硬件高效 ansatz、强纠缠 ansatz）、参数个数、可训练参数层数、以及采样 1000 组参数得到的平均两两保真度。示例：某 ansatz 参数 48 个、平均保真度 0.02，接近 2^n 维空间随机态的理论量级，说明表达力较充分；若平均保真度高达 0.6，则说明态高度聚集，表达力不足。

梯度可训练性关注参数化线路的梯度是否随比特数增加而指数消失（贫瘠高原）。标准做法是初始化参数后计算损失对某个参数的偏导 ∂L/∂θ，重复多次统计其方差。若方差随量子比特数 n 近似按 2^(−n) 衰减，则存在贫瘠高原。元数据应记录：测量所用损失函数（如全局 Pauli-Z 期望）、初始化分布（如均匀 [0,2π)）、采样次数、以及梯度方差随 n 的拟合指数。示例：n=4 时梯度方差 1.2×10⁻²，n=8 时 7.5×10⁻⁴，n=12 时 4.1×10⁻⁵，拟合指数约 −1.9，接近理论值 −2，说明该任务对梯度型优化器不友好，应标注“需采用局部损失或分层训练”。

把指标写进元数据：字段设计与计算流程

指标本身只是数字，真正让数据集可复用的是把它们组织成可查询、可比较、可复现的元数据。建议采用“数据集级 + 样本级”两层结构：数据集级记录整体统计与计算口径，样本级记录单条样本的指标值。以下是一个可直接参考的 JSON 片段（数值为教学示例，非实测结果）：

{
  "dataset": "qml-bench-v1",
  "n_qubits": 6,
  "metric_spec": {
    "entanglement": {"measure": "von_neumann_entropy",
                     "bipartition": "3|3", "unit": "ebit"},
    "quantum_volume": {"formula": "2^min(width, depth)"},
    "expressivity": {"method": "mean_pairwise_fidelity",
                     "n_samples": 1000},
    "trainability": {"loss": "global_pauli_z",
                     "init": "uniform_0_2pi", "n_repeats": 200}
  },
  "dataset_level": {
    "entanglement": {"mean": 1.8, "q25": 1.1, "q50": 1.8, "q75": 2.4},
    "quantum_volume": {"width": 10, "depth": 12, "qv_required": 1024},
    "expressivity": {"ansatz": "hardware_efficient",
                     "n_params": 48, "mean_fidelity": 0.02},
    "trainability": {"grad_var_by_n": [1.2e-2, 7.5e-4, 4.1e-5],
                     "decay_exponent": -1.9}
  },
  "samples": [
    {"id": "s0001", "entanglement_ebit": 2.31, "label": 1},
    {"id": "s0002", "entanglement_ebit": 0.42, "label": 0}
  ]
}

计算流程上，纠缠度与表达力依赖态向量或密度矩阵，建议在数据集构建阶段离线完成并缓存，避免使用者重复计算；量子体积是任务属性，由参考线路直接给出；梯度可训练性需要针对具体 ansatz 与损失函数测量，因此必须在元数据中显式记录 ansatz 名称、参数初始化分布与采样次数，否则不同实现之间不可比。一个常见误区是把梯度方差只记录一个数，实际上应记录“随 n 变化的序列 + 拟合指数”，因为贫瘠高原的本质是随规模衰减的趋势，单点数值无法说明问题。

指标之间的耦合与使用建议

四类指标并非独立。表达力高的 ansatz 往往参数更多、纠缠生成能力更强，但也更容易落入贫瘠高原；量子体积需求高的任务通常纠缠度也高。因此元数据中应保留指标间的关联信息，例如同时记录“该数据集在 n=4/8/12 下的梯度方差”与“对应 ansatz 的参数数”，让使用者能判断性能下降是来自数据难度还是优化困难。实践中建议为每个数据集附一份指标卡：用一句话概括“本数据集主要检验什么能力”，再列出四项指标的关键数值与判读结论。这样，基准数据集才不只是态向量的集合，而成为带有明确能力标签的评测工具。