2. 异常检测问题形式化与量子计算基础
在开始写任何一行量子异常检测代码之前，我们需要先建立两套语言：一套用来精确描述“什么是异常”，另一套用来精确描述“量子计算机如何计算”。前者决定模型要优化什么，后者决定模型能表达什么。本节把这两套语言对齐，为后续建模打下可计算的基础。
一、把异常定义成可计算的数学对象
异常检测的本质是学习一个评分函数 s(x)，使正常样本得分低、异常样本得分高，再通过阈值 τ 做判决：s(x) > τ 判为异常。因此形式化的第一步是明确三件事：样本空间 X、评分函数 s: X → R、判决规则。三者合起来构成一个检测器 D(x) = 1[s(x) > τ]。
异常的定义方式直接决定评分函数的形式。常见有三类：其一是基于距离/密度，认为异常远离正常数据的高密度区域，评分可取到近邻距离或局部密度倒数；其二是基于重构，用正常数据训练一个重构模型，评分取重构误差 s(x)=‖x−x̂‖²；其三是基于分布，估计正常分布 p(x)，评分取负对数似然 s(x)=−log p(x)。量子模型通常落在第二、三类：量子线路天然是一个参数化酉变换，可视为特征映射或生成/重构过程，评分函数往往由测量期望值构造。
阈值 τ 不是随便取的。工程上常用验证集上的分位数确定，例如取正常验证样本评分的 99% 分位作为 τ，使误报率控制在约 1%。评价时用 ROC-AUC 衡量排序能力，用固定误报率下的召回率衡量实际可用性。这里要强调一个约定：本文所有评分均为“越大越异常”，若采用重构误差类评分，误差越大即越异常，方向一致，后续图示也遵循此约定。
二、量子计算的最小语言：比特、门、测量、线路
经典比特取值 0 或 1；量子比特的状态是二维复向量 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩，满足 |α|²+|β|²=1。多比特系统的状态空间是张量积，n 个量子比特有 2ⁿ 个基态振幅，这是量子模型表达力的来源，也是仿真成本的来源。
量子门是作用在量子比特上的酉变换 U†U=I，因此可逆且保范数。建模中最常用的几个门必须熟记其矩阵形式：
H = 1/√2 [[1, 1], [1, -1]] # 制造叠加
Rx(θ) = [[cos(θ/2), -i·sin(θ/2)],
[-i·sin(θ/2), cos(θ/2)]] # 参数化旋转
Rz(θ) = [[e^(-iθ/2), 0], [0, e^(iθ/2)]]
CNOT = [[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,0,1],[0,0,1,0]] # 两比特纠缠测量是量子线路唯一的输出通道。对状态 |ψ⟩ 在计算基下测量，得到 0 的概率为 |α|²，得到 1 的概率为 |β|²，测量后状态坍缩到对应基态。由于单次测量只给一个比特，实际使用中要重复运行线路 shots 次（例如 1024 次）统计频率，用频率估计概率。可观测量 Z 的期望值可由 ⟨Z⟩ = P(0) − P(1) 估计，这正是量子模型输出连续评分的主要方式。
线路模型把上述元素串起来：初始化 |0…0⟩ → 施加特征编码门 → 施加含可训练参数的变分门 → 测量。特征编码把经典数据 x 映射为角度，例如 Rx(x_i)；变分部分用 Ry(θ)、CNOT 堆叠成 ansatz；测量得到期望值后送入经典优化器更新 θ。这条“量子前向 + 经典反向”的混合回路，就是后续所有模型的基本骨架。
三、两侧语言如何对齐
上图把两套语言并置：左侧是评分函数的抽象形式，右侧是线路模型的具体执行。对齐的关键在于把测量期望值当作评分。以重构类为例，若用线路学习正常数据的特征分布，可令评分 s(x) = 1 − ⟨Z⟩，正常样本经编码后测量偏向 |0⟩（⟨Z⟩ 接近 1），异常样本偏离该分布使 ⟨Z⟩ 下降，评分升高。这样“越大越异常”的约定在量子侧同样成立。
一个具体的教学示例（参数为合理假设，非实测）：取 2 维特征，编码角 x₁=0.3, x₂=1.1，ansatz 参数初值 θ₁=θ₂=0.5，shots=1024。运行后统计得到 P(0)=0.78、P(1)=0.22，则 ⟨Z⟩=0.56，评分 s=0.44。若阈值 τ=0.35，该样本被判为异常。这个数字链条说明：经典数据 → 角度 → 概率 → 期望值 → 评分 → 判决，每一步都可复算、可检查。
四、必须提前建立的工程约定
第一，比特序与测量基要统一。多比特系统中 q0 是最低位还是最高位，不同框架默认不同，读测量结果时必须确认，否则特征与比特的对应关系会错位。第二，shots 与统计误差要匹配。1024 次测量下概率估计的标准差约为 1/(2√1024)≈0.016，若评分差异小于该量级，需增加 shots 或多次平均。第三，参数化门的可微性要保证。选择 Rx/Ry/Rz 这类单参数旋转门，才能用参数移位规则计算梯度，支撑经典优化器更新。