2. 量子计算基础回顾

变分量子分类器（VQC）本质上是“带可训练参数的量子线路 + 经典优化器”的组合。要读懂 VQC 的构造、写出可运行的线路、解释训练曲线为何抖动，就必须先把量子比特、叠加、纠缠、测量、量子门与量子线路这六个概念串成一条完整的物理—计算链条。本节不追求量子力学的形式化推导，而是围绕“VQC 开发时你会实际用到什么”来回顾。

一、量子比特：从二维复向量到布洛赫球

经典比特只能取 0 或 1，量子比特（qubit）的状态则是一个二维复向量：

|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩,   α, β ∈ ℂ,   |α|² + |β|² = 1

其中 |0⟩ = [1, 0]ᵀ、|1⟩ = [0, 1]ᵀ 是计算基。α、β 称为概率幅，|α|² 与 |β|² 分别是测量得到 0 和 1 的概率。由于全局相位不可观测，单量子比特纯态可写成只含两个实角的参数化形式：

|ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^{iφ} sin(θ/2)|1⟩

θ ∈ [0, π]、φ ∈ [0, 2π) 正好对应布洛赫球上的一个点。这一点对 VQC 极其重要：单量子比特门就是布洛赫球上的旋转，而 VQC 中常用的 RY(θ) 门，就是把量子比特绕 y 轴旋转 θ 角，θ 直接作为可训练参数。开发时若看到某个参数“怎么训练都不动”，往往要回到布洛赫球上检查该旋转轴是否与当前态平行——平行旋转不改变态，梯度自然为零。

二、叠加与纠缠：VQC 表达能力的来源

叠加指系统可处于基态的线性组合。对 n 个量子比特，叠加态可同时“覆盖”2ⁿ 个基态，这是量子线路相对经典线路的并行性来源。但要注意：叠加本身并不等于可用的并行计算，必须配合干涉（相位设计）才能把目标答案的概率幅放大。

纠缠指多比特联合态不能写成各比特态的直积。以两比特的贝尔态为例：

|Φ⁺⟩ = (|00⟩ + |11⟩)/√2

此时单独看第一个比特是最大混合态，测量结果完全随机；但两个比特的测量结果 100% 相关。纠缠是 VQC 能表达经典模型难以表达的特征空间的关键资源。在 VQC 中，纠缠通常由 CNOT、CZ 等双比特门在特征映射层和可训练层中引入；如果线路里只有单比特旋转，无论层数多深，整体演化仍是各比特旋转的直积，模型表达能力会严重受限。

三、测量：把量子态变成经典数据的唯一出口

测量是量子线路与经典世界之间的接口。对态 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ 在计算基下测量，得到 0 的概率为 |α|²，得到 1 的概率为 |β|²，测量后态坍缩到对应基态。VQC 中常见的做法是：

• 计算基测量：直接读取 Z 算符本征值，得到 0/1 比特串，用于分类标签；
• 期望值测量：通过多次重复（shots）估计 ⟨Z⟩ = P(0) − P(1)，作为连续输出送入经典优化器；
• 多比特联合测量：读取比特串并统计频率，用于多分类或核方法。

这里有一个工程上必须建立的直觉：测量带来统计噪声。若用 1024 次 shots 估计 ⟨Z⟩，其标准误差约为 1/√1024 ≈ 0.031。VQC 训练时损失曲线的抖动，很大一部分就来自这个采样噪声，而不是参数更新本身。开发时通常需要设置足够的 shots，或在优化器层面使用参数化平移规则配合多次采样平均。

四、量子门与量子线路：把数学写成可执行的门序列

量子门是作用在量子态上的酉变换 U（满足 U†U = I），保证演化前后概率守恒。VQC 开发中最常用的一组门如下：

量子线路就是把门按时间顺序作用到初始态 |0…0⟩ 上的序列，读取方式是从左到右（时间从左到右），每个比特一条水平线。下面这张图给出一个典型的 2 比特 VQC 单层结构：特征映射层把输入 x 编码进 RY 角，可训练层用带参数的 RY 与 CNOT 构造纠缠，最后在计算基下测量得到分类输出。

这张图对应 VQC 的标准三段式：特征映射把经典输入 x 编码为量子态，可训练层用参数化旋转与纠缠门构造假设空间，测量把量子态转成经典数值。开发时，线路的比特数、层数、纠缠拓扑、测量算符共同决定了模型的表达能力与训练难度。

五、开发中必须建立的三条工程直觉

第一，门序不可交换。量子门是矩阵乘法，AB ≠ BA 普遍成立。写线路时若把 CNOT 放在 RY 之前还是之后，得到的态完全不同。调试时若发现结果与预期不符，先检查门序，而不是先怀疑参数。

第二，测量会破坏叠加。线路中间不要随意插入测量，除非你明确要做“测量反馈”或“动态线路”。VQC 的标准做法是：所有酉演化完成后，在末端统一测量。

第三，参数化门的梯度来自“参数化平移”。对形如 RY(θ) 的门，其期望值满足 ∂⟨O⟩/∂θ = [⟨O⟩(θ+π/2) − ⟨O⟩(θ−π/2)]/2。这正是 VQC 能用经典优化器训练参数的数学基础，也解释了为什么训练时每个参数需要额外两次线路求值。

把以上概念落到代码层面，一个最小可运行的线路骨架（以 Qiskit 风格伪代码表示）大致如下，它把本节的门、纠缠与测量串成了可执行对象：

qc = QuantumCircuit(2, 2)
qc.ry(x[0], 0)          # 特征映射
qc.ry(x[1], 1)
qc.ry(theta[0], 0)      # 可训练层
qc.ry(theta[1], 1)
qc.cx(0, 1)             # 引入纠缠
qc.ry(theta[2], 0)
qc.ry(theta[3], 1)
qc.measure([0, 1], [0, 1])   # 计算基测量
# 重复 shots 次，统计比特串频率，估计 ⟨Z⟩ 或分类概率

至此，量子比特提供状态载体，叠加与纠缠提供表达能力，量子门与线路提供可编程的演化，测量提供经典读出。这五者构成 VQC 的物理底座，后续的特征映射设计、ansatz 选择与优化器调参，都是在这套底座上做工程取舍。