2. 量子比特与测量基础

BB84 协议的全部安全性都建立在量子力学最基本的几条规则之上。在动手写仿真代码之前，必须先把“量子比特长什么样、怎么编码、怎么测量、测量后会发生什么”这四件事讲清楚。本节不涉及协议流程，只聚焦于仿真中真正要用到的物理模型：偏振编码、两组测量基、测量坍缩，以及单光子源与探测器的理想化假设。

一、偏振编码：把比特写进光子的偏振方向

在光纤或自由空间量子通信中，最常用的物理载体是单光子的偏振态。一个偏振态可以用二维复向量表示，即量子比特 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩，其中 |α|² + |β|² = 1。BB84 只使用四个特定的偏振态，它们分成两组正交基：

• 计算基（Z 基，直线基）：|0⟩ 对应水平偏振 ↔，|1⟩ 对应垂直偏振 ↕。二者互相正交，可完美区分。
• 对角基（X 基，斜线基）：|+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2 对应 +45° 偏振 ↗，|−⟩ = (|0⟩−|1⟩)/√2 对应 −45° 偏振 ↘。

注意一个关键事实：|+⟩ 和 |−⟩ 都不是 |0⟩ 或 |1⟩ 本身，而是它们的等权叠加。这意味着，如果发送方用 X 基编码，接收方却用 Z 基测量，结果将完全随机——这正是 BB84 窃听检测的物理根源。在仿真中，我们通常用两个比特来记录一个光子：一个比特表示“选了哪个基”（0=Z，1=X），另一个比特表示“在该基下编码的比特值”。

二、测量：投影与坍缩

量子测量不是“看一眼”，而是一次不可逆的投影操作。对态 |ψ⟩ 在基 {|e₀⟩, |e₁⟩} 下测量，得到结果 0 的概率为 |⟨e₀|ψ⟩|²，得到结果 1 的概率为 |⟨e₁|ψ⟩|²。测量一旦发生，态就坍缩到与结果对应的基向量上，原来的叠加信息被破坏。

把这条规则套到 BB84 的四种情形上，可以得到一张完整的概率表（见下方 SVG 中的矩阵）。例如发送 |+⟩、用 Z 基测量：|⟨0|+⟩|² = 1/2，|⟨1|+⟩|² = 1/2，结果各半，且测量后态变成 |0⟩ 或 |1⟩，不再是 |+⟩。而发送 |+⟩、用 X 基测量：|⟨+|+⟩|² = 1，结果确定为 0。这就是“基匹配则确定、基不匹配则随机”的完整来源。

三、单光子源与探测器的理想化模型

真实设备存在多光子、暗计数、探测效率不足、偏振漂移等问题。BB84 仿真入门阶段通常先采用理想化模型，把非理想因素留到后续章节单独引入。理想模型包含以下约定：

• 单光子源：每次发射严格一个光子，无多光子成分，偏振态制备无误差，四个态等概率选取。
• 量子信道：无损耗、无噪声、无窃听时偏振态保持不变；引入窃听时按截获—重发策略改变态。
• 单光子探测器：探测效率 100%，暗计数为 0，测量基可完美切换，测量结果无翻转错误。

在这些假设下，仿真中“基不匹配”是唯一的随机性来源，误码率（QBER）在无窃听时应严格为 0。一旦引入窃听者，QBER 会上升到约 25%，这个数值正是由上面的概率表推导出来的：窃听者用错误基测量时，有 1/2 概率把态投到错误方向，接收方再测时又有一半概率出错，综合约 1/4。理解这一点，后续的窃听仿真才有据可依。

四、仿真中如何落地这四个概念

把上述内容映射到代码，通常只需要几个字段和一次判定。下面给出一个最小可用的 Python 片段，演示“制备—测量”一步的完整逻辑，可直接作为后续协议仿真的基础函数：

import random

# 基：0 = Z 基，1 = X 基
# 比特：0 或 1
def prepare(bit, basis):
    # 返回偏振态标识，便于调试观察
    if basis == 0:
        return "H" if bit == 0 else "V"      # |0⟩ / |1⟩
    else:
        return "D" if bit == 0 else "A"      # |+⟩ / |−⟩

def measure(state, basis):
    # 理想模型：基匹配则确定，不匹配则各 1/2
    if basis == 0:                # 用 Z 基测
        if state in ("H", "V"):
            return 0 if state == "H" else 1
        return random.randint(0, 1)   # D/A 坍缩为随机
    else:                         # 用 X 基测
        if state in ("D", "A"):
            return 0 if state == "D" else 1
        return random.randint(0, 1)   # H/V 坍缩为随机

# 示例：发送 |+⟩，接收方用 Z 基测量
s = prepare(0, 1)      # "D"
r = measure(s, 0)      # 约 50% 得 0，50% 得 1
print(s, r)

这段代码刻意把“态”和“基”分开表示，而不是直接存成比特，原因是：如果只存比特，就无法区分“发送方用 X 基编码的 0”和“发送方用 Z 基编码的 0”，而这两者在接收方用错基测量时行为完全不同。仿真中保留基信息，是保证物理正确性的前提。

五、常见理解偏差

初学者最容易犯的错误有三个。第一，把“基不匹配时结果随机”误解为“结果一定错误”——实际上随机意味着约一半碰巧正确，这正是后续筛选（sifting）后仍能保留一半数据的原因。第二，认为测量可以“事后补救”——坍缩是不可逆的，接收方测完后再想还原发送方的原始叠加态是不可能的，这也是窃听者无法完美复制未知量子态（不可克隆定理）的直观体现。第三，把理想模型当成真实设备——真实系统中探测效率、暗计数和偏振漂移都会引入额外误码，仿真时应把“理想误码”和“设备误码”分开统计，否则无法判断误码究竟来自窃听还是来自器件。

掌握以上四点后，BB84 的协议流程就只剩下“随机选基、公开比对基、筛后估计误码”这些经典操作，量子部分的难点已经在编码与测量这一层被消化掉了。