3. 量子态归一化异常排查

问题复现：未归一化态上的期望值

QuTiP 的 Qobj 在创建 ket 时不会自动归一化，也不会在 expect() 时强制检查范数。因此一个范数为 2 的 ket 参与期望值计算时，QuTiP 会照常返回结果，但该结果在物理上无意义。先构造一个可复现的最小例子：

import qutip as qt
import numpy as np

# 故意构造未归一化 ket：|ψ> = 2|0> + 1|1>
psi_raw = qt.Qobj([[2.0], [1.0]], dims=[[2], [1]])
print("norm:", psi_raw.norm())        # 2.2360679...
print("isket:", psi_raw.isket)        # True

sz = qt.sigmaz()
print("expect(sz):", qt.expect(sz, psi_raw))   # -0.6，非物理
print("prob sum:", (psi_raw.dag() * psi_raw)[0, 0])  # 5.0，不是 1

关键观察：isket 为 True 只说明形状是列向量，不代表已归一化；expect() 内部按 ⟨ψ|A|ψ⟩ 直接计算，分母没有 ⟨ψ|ψ⟩，所以范数被平方后带进了结果。上例中 σz 的期望值 −0.6 来自 (4·1 + 1·(−1))/5 = 3/5，而正确归一化后应为 (4−1)/5 = 0.6。

识别 QuTiP 的归一化检查行为

QuTiP 对归一化的“检查”是分散的，需要分清哪些地方会报错、哪些地方不会：

• Qobj.unit()：显式归一化，返回新对象，不修改原对象；对零矢量会抛 ZeroDivisionError 或产生 NaN，需自行防护。
• Qobj.norm()：默认返回迹范数（对 ket 即 √⟨ψ|ψ⟩），不是 1 就说明未归一化。
• qt.expect()：不做归一化检查，直接算 ⟨ψ|A|ψ⟩，这是本例错误的根源。
• qt.mesolve() / qt.sesolve()：初始态若未归一化，演化结果会整体缩放，但不会报错。
• Qobj.dag() 与 tensor()：不检查范数，张量积后范数为各因子范数之积，容易累积偏差。

因此排查顺序应是：先看 norm() 是否接近 1，再看 dims 是否正确，最后才怀疑算符本身。

修正态矢量并验证

修正方式取决于态的来源。若态由手工构造或从外部数据读入，用 unit() 归一化；若态由算符作用产生（如 A * psi），作用后必须重新归一化；若态来自 tensor() 组合，应检查每个因子是否已归一化。

# 方式一：直接归一化
psi = psi_raw.unit()

# 方式二：算符作用后归一化（注意零结果需防护）
phi = (qt.sigmap() * psi_raw)
if phi.norm() > 1e-12:
    phi = phi.unit()
else:
    raise ValueError("算符作用后得到零矢量，检查算符与态是否匹配")

# 验证：范数与概率和
assert abs(psi.norm() - 1) < 1e-10
assert abs((psi.dag() * psi)[0, 0] - 1) < 1e-10

# 验证：期望值落入物理范围
val = qt.expect(qt.sigmaz(), psi)
assert -1 - 1e-10 <= val <= 1 + 1e-10
print("归一化后期望值:", val)   # 0.6

排查清单

按此顺序执行，绝大多数“期望值明显不对但没报错”的情形都能在第一步定位到未归一化的态矢量。