2. 量子态表示与密度矩阵计算

在量子纠缠熵与关联度量的计算链条中，密度矩阵是贯穿始终的“数据容器”。无论后续要算冯·诺依曼熵、互信息还是纠缠负度，第一步都必须把物理态写成可运算的矩阵形式。本节从纯态与混合态的区分入手，讲清密度矩阵的构造、约化与本征值分解，并给出可直接复用的计算路径。

纯态与混合态：两种不同的数据来源

纯态是可以用单个态矢量 |ψ⟩ 完全描述的量子态。对纯态，密度矩阵定义为外积 ρ = |ψ⟩⟨ψ|。以单量子比特为例，若 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩，则

ρ = |ψ⟩⟨ψ| = [[αα*, αβ*],
              [βα*, ββ*]]

纯态密度矩阵有三个可直接检验的特征：迹为 1、厄米、且 ρ² = ρ，因此 tr(ρ²) = 1。这个“纯度”判据在数值计算中非常实用——只要 tr(ρ²) 明显小于 1，就说明态是混合的。

混合态则不能用单个态矢量描述，它表示系统以概率 pi 处于某个纯态 |ψi⟩ 的统计系综：

ρ = Σ_i p_i |ψ_i⟩⟨ψ_i|,   p_i ≥ 0,  Σ_i p_i = 1

此时 tr(ρ²) = Σ pi² < 1。混合态的典型来源有两类：一是制备过程引入的经典不确定性（如热态、退极化噪声）；二是对复合系统做部分迹后得到的子系统态——后者正是纠缠熵计算的起点，也是本节最需要掌握的操作。

判断一个给定矩阵是否为合法密度矩阵，按顺序检查：厄米性 ρ = ρ†、半正定性（所有本征值 ≥ 0）、迹为 1。三项全部满足才可进入后续熵计算。

复合系统与部分迹：约化密度矩阵

设复合系统 AB 处于纯态 |ψ⟩AB，其密度矩阵为 ρAB = |ψ⟩⟨ψ|。若只关心子系统 A，需要对 B 求部分迹：

ρ_A = tr_B(ρ_AB) = Σ_j (I_A ⊗ ⟨j|_B) ρ_AB (I_A ⊗ |j⟩_B)

其中 {|j⟩B} 是 B 的一组正交基。以两量子比特的 Bell 态 |Φ⁺⟩ = (|00⟩ + |11⟩)/√2 为例，按计算基 {|0⟩, |1⟩} 展开后对 B 求迹，得到

ρ_A = 1/2 (|0⟩⟨0| + |1⟩⟨1|) = [[0.5, 0],
                                [0, 0.5]]

这是一个最大混合态，tr(ρA²) = 0.5，冯·诺依曼熵 S = −tr(ρA log₂ ρA) = 1 bit。注意：ρAB 本身是纯态（熵为 0），但其子系统却是混合态——这正是纠缠的量化体现。对纯的二分态，S(ρA) = S(ρB)，这一等式可作为数值实现的校验点。

实现部分迹时有一个容易出错的细节：基的顺序约定。若把两比特态写成 4 维向量，索引按 |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ 排列，则对 B 求迹等价于把 4×4 矩阵按 2×2 分块，取每块的对角块求和。若索引顺序改为 |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ 之外的约定（如先 B 后 A），分块方式随之改变。工程上建议在代码中显式写出基顺序，并用 Bell 态做单元测试，确认输出为 [[0.5,0],[0,0.5]]。

本征值分解：把熵计算变成求和

密度矩阵是厄米半正定矩阵，因此可做谱分解：

ρ = Σ_k λ_k |k⟩⟨k|,   λ_k ≥ 0,  Σ_k λ_k = 1

一旦得到本征值 {λk}，冯·诺依曼熵就退化为一个标量求和：

S(ρ) = −Σ_k λ_k log₂ λ_k

约定 0 log 0 = 0。这个约定不是数学装饰：当 λk 因数值误差出现极小负值（如 −1e−16）时，直接取对数会产生 NaN。稳健做法是先截断：λk < 1e−12 的项按 0 处理，再对剩余本征值归一化，最后求和。对 2×2 的 ρA，也可用解析式 S = −λ₊log₂λ₊ − λ₋log₂λ₋，其中 λ± = (1 ± √(1 − 4det ρ))/2，适合做快速校验。

本征值分解还直接支撑其他关联度量：纠缠负度用部分转置后的负本征值之和，互信息用 S(ρA) + S(ρB) − S(ρAB)，Rényi 熵用 (1/(1−n))log tr(ρⁿ)。因此把“构造 → 约化 → 分解 → 求和”这条链做扎实，后续所有度量都只是换一个求和公式。

密度矩阵计算链：从态矢量到纠缠熵 ① 构造 ρ 纯态：ρ = |ψ⟩⟨ψ| 混合态：Σ pᵢ|ψᵢ⟩⟨ψᵢ| 校验：ρ=ρ†，tr ρ=1 ② 部分迹约化 ρ_A = tr_B(ρ_AB) 按 B 的基分块求和 Bell 态 → ρ_A = I/2 ③ 本征值分解 ρ = Σ λₖ|k⟩⟨k| λₖ ≥ 0，Σλₖ = 1 截断 λₖ < 1e−12 ④ 熵求和 S = −Σλₖlog₂λₖ 0log0 = 0 Bell 态 → 1 bit 同一组本征值支撑的关联度量 冯·诺依曼熵 S(ρ_A) = −Σλₖlog₂λₖ 纠缠熵 互信息 I = S_A + S_B − S_AB 总关联 纠缠负度 部分转置负本征值 可计算纠缠量 Rényi 熵 (1/(1−n))log tr ρⁿ 谱信息更敏感

一个可复现的数值示例

考虑两量子比特态 |ψ⟩ = cos θ|00⟩ + sin θ|11⟩，取 θ = π/8（示例参数）。构造 4×4 密度矩阵后对 B 求迹，得到 ρA = diag(cos²θ, sin²θ) ≈ diag(0.854, 0.146)。本征值即 0.854 与 0.146，代入熵公式得 S ≈ 0.854×(−log₂0.854) + 0.146×(−log₂0.146) ≈ 0.854×0.228 + 0.146×2.775 ≈ 0.600 bit。当 θ = π/4 时退化为 Bell 态，S = 1 bit；当 θ = 0 时态为 |00⟩，S = 0。这条从 0 到 1 的连续曲线，正是纠缠随混合角变化的直观刻画。

若把该态改为混合态，例如以 0.9 概率处于上述纯态、0.1 概率处于 |01⟩，则 ρAB = 0.9|ψ⟩⟨ψ| + 0.1|01⟩⟨01|。此时 ρAB 的熵不再为 0，S(ρA) 与 S(ρB) 也不再自动相等，互信息 I = SA + SB − SAB 才是更合适的总关联度量。这一步提醒我们：纠缠熵的“纯态二分等式”只在全局纯态下成立，混合态必须回到互信息框架。

实现要点与常见陷阱

  • 基顺序显式化：构造张量积时固定 |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ 的索引约定，并在注释中写明；部分迹的分块方式依赖于此。
  • 厄米性检查：数值构造后验证 max|ρ − ρ†| < 1e−10，否则后续本征值可能为复数。
  • 本征值截断：负的微小本征值置零并重新归一化，避免 log 产生 NaN 或 −inf。
  • 纯度自检：纯态应满足 tr(ρ²) ≈ 1；若明显偏离，说明构造或约化环节有误。
  • 对称性校验：全局纯态下验证 S(ρA) ≈ S(ρB)，偏差超过 1e−8 即需排查。
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