3. 密度矩阵的定义与构造

态矢量是描述量子态的简洁工具，但它有一个隐含前提：系统处于某个确定的纯态。一旦系统与外界发生纠缠，或我们只掌握一组可能状态及其经典概率，态矢量就不再够用。密度矩阵（密度算符）正是为覆盖这两类情形而生的统一语言。本节从定义出发，分别给出纯态与混态的构造方法，再落到厄米性、迹为1、半正定性三项判据的验证，最后完整计算一个两能级混态的密度矩阵。

一、定义：从投影算符到统计平均

设系统以概率 $p_i$ 处于归一化态矢量 $|\psi_i\rangle$，且 $\sum_i p_i = 1$，则密度算符定义为

ρ = Σ_i p_i |ψ_i⟩⟨ψ_i|

其中 $|\psi_i\rangle\langle\psi_i|$ 是向该态张成一维子空间的投影算符。若某个 $p_i=1$、其余为零，则 $\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$，称为纯态密度矩阵；若至少两个 $p_i$ 非零且对应态矢量线性无关，则为混态。注意“混合”指的是经典概率意义上的不确定，而非量子叠加——叠加仍是一个纯态，其密度矩阵依旧是单个投影算符。

密度矩阵的元素在给定正交基 $\{|0\rangle,|1\rangle,\dots\}$ 下写作 $\rho_{mn}=\langle m|\rho|n\rangle$。对角元 $\rho_{nn}$ 是该基下的布居概率，非对角元 $\rho_{mn}$ 称为相干项，承载基矢之间的相位关系。这一“布居+相干”的读法，是后续所有计算与判读的落脚点。

二、从态矢量构造纯态密度矩阵

给定 $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$，满足 $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$，则

ρ = |ψ⟩⟨ψ| = [ αα*  αβ* ]
             [ βα*  ββ* ]

以 $|\psi\rangle=\cos\frac{\theta}{2}|0\rangle+e^{i\varphi}\sin\frac{\theta}{2}|1\rangle$ 为例，取 $\theta=\pi/3$、$\varphi=\pi/4$，则 $\alpha=\cos 30^\circ\approx0.8660$，$\beta=e^{i\pi/4}\sin30^\circ\approx0.7071(0.7071+0.7071i)=0.5+0.5i$。于是

ρ00 = |α|² = 0.75
ρ11 = |β|² = 0.50
ρ01 = αβ* = 0.8660 × (0.5 − 0.5i) ≈ 0.4330 − 0.4330i
ρ10 = ρ01* ≈ 0.4330 + 0.4330i

纯态密度矩阵的关键特征是 $\rho^2=\rho$，等价地 $\mathrm{Tr}(\rho^2)=1$。这一点在验证环节非常有用：只要算出迹的平方偏离1，就说明混入了经典不确定性。

三、从统计混合构造混态密度矩阵

混态的构造是“先算各纯态投影，再按概率加权求和”。设制备设备以 $p_1=0.6$ 输出 $|0\rangle$，以 $p_2=0.4$ 输出 $|+\rangle=\frac{1}{\sqrt2}(|0\rangle+|1\rangle)$，则

|0⟩⟨0| = [ 1  0 ]
         [ 0  0 ]

|+⟩⟨+| = 1/2 [ 1  1 ]
              [ 1  1 ]

ρ = 0.6·|0⟩⟨0| + 0.4·|+⟩⟨+|
  = [ 0.6+0.2   0.2 ] = [ 0.8  0.2 ]
    [ 0.2      0.2 ]   [ 0.2  0.2 ]

这里 $\rho_{00}=0.8$ 表示测得 $|0\rangle$ 的总概率，$\rho_{01}=0.2$ 是两路制备共同贡献的相干项。若两路态矢量正交（如 $|0\rangle$ 与 $|1\rangle$），非对角元会完全抵消，矩阵退化为对角形式，这正是“经典概率混合”的极端表现。构造时务必逐项乘概率再相加，不能先把态矢量相加——后者会引入干涉，得到的是另一个纯态。

四、三项判据的验证方法

任何合法密度矩阵必须同时满足三条性质，验证顺序建议如下：

• 厄米性：$\rho=\rho^\dagger$，即 $\rho_{mn}=\rho_{nm}^*$。实操中检查对角元是否为实数、非对角元是否互为共轭即可。
• 迹为1：$\mathrm{Tr}(\rho)=\sum_n\rho_{nn}=1$，对应总概率守恒。若迹偏离1，通常是概率未归一或态矢量未归一。
• 半正定性：所有本征值 $\lambda_k\ge0$。两能级情形可直接用行列式判据：$\det\rho=\rho_{00}\rho_{11}-|\rho_{01}|^2\ge0$，配合迹为1即保证两个本征值非负。

对上节混态：$\rho_{01}=0.2$ 为实数，$\rho_{10}=0.2=\rho_{01}^*$，厄米性通过；迹 $0.8+0.2=1$，通过；$\det\rho=0.8\times0.2-0.2^2=0.16-0.04=0.12>0$，半正定通过。进一步算 $\mathrm{Tr}(\rho^2)=0.8^2+0.2^2+2\times0.2^2=0.64+0.04+0.08=0.76<1$，确认是混态。其本征值为 $\frac{1\pm\sqrt{1-4\times0.12}}{2}=\frac{1\pm0.7211}{2}$，即约 $0.8606$ 与 $0.1394$，均非负，与行列式判据一致。

五、完整算例：一个两能级混态

下面给出一个可直接复算的算例，参数均为教学设定。设制备过程以 $p_1=0.7$ 产生 $|0\rangle$，以 $p_2=0.3$ 产生 $|1\rangle$ 与 $|0\rangle$ 的等幅叠加态 $|\phi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}(|0\rangle+|1\rangle)$。先写两投影：

|0⟩⟨0| = [[1, 0], [0, 0]]
|φ⟩⟨φ| = [[0.5, 0.5], [0.5, 0.5]]

ρ = 0.7·[[1,0],[0,0]] + 0.3·[[0.5,0.5],[0.5,0.5]]
  = [[0.7+0.15, 0.15], [0.15, 0.15]]
  = [[0.85, 0.15], [0.15, 0.15]]

验证：厄米性——对角元 0.85、0.15 为实数，非对角元 0.15 与 0.15 互为共轭，通过。迹——$0.85+0.15=1$，通过。半正定——$\det\rho=0.85\times0.15-0.15^2=0.1275-0.0225=0.105>0$，通过。纯度——$\mathrm{Tr}(\rho^2)=0.85^2+0.15^2+2\times0.15^2=0.7225+0.0225+0.045=0.79$，小于1，确为混态。本征值为 $\frac{1\pm\sqrt{1-4\times0.105}}{2}=\frac{1\pm0.8832}{2}$，约 $0.9416$ 与 $0.0584$。

若把 $p_2$ 从 0.3 调到 0，矩阵变为 $\mathrm{diag}(1,0)$，纯度回到1，退化为纯态；若把 $|\phi\rangle$ 换成与 $|0\rangle$ 正交的 $|1\rangle$，非对角元归零，矩阵变为 $\mathrm{diag}(0.7,0.3)$，相干完全消失。这两个极端恰好标出了混态参数空间的两端，调节概率与态间夹角即可连续观察相干项的消长。

至此，密度矩阵的构造链条已经闭合：纯态由单个投影算符给出，混态由投影算符的概率凸组合给出；三项判据分别对应物理上的可观测性、概率守恒与正定性。掌握这套流程后，后续的约化密度矩阵、冯·诺依曼熵与量子信道作用，都可以在同一矩阵表示上直接展开。