3. 一维无限深势阱的波函数归一化与概率分布

在上一节中，我们通过求解定态薛定谔方程得到了一维无限深势阱的波函数形式。以宽度为 a、势阱区间取 0 < x < a（阱外势能为无穷大）为例，能量本征函数可写为

ψ_n(x) = A·sin(nπx/a)，n = 1, 2, 3, …

其中 n 为能级序数（主量子数），A 为待定常数。本节要完成三件事：用归一化条件确定 A；画出不同 n 的概率密度并分析节点规律；用数值积分检验归一化是否成立。这三步构成一个完整的“求解—可视化—验证”闭环，也是量子力学中处理任何本征函数的标准动作。

归一化：从待定常数到确定系数

波函数的概率诠释要求：粒子在 0 < x < a 内必然被找到，因此概率密度 |ψ_n(x)|² 在全空间的积分为 1。阱外波函数为零，积分只需在阱内进行：

∫₀^a |A|² sin²(nπx/a) dx = 1

利用半角公式 sin²θ = (1 − cos2θ)/2，积分变为

|A|²·[a/2 − (a/4nπ)·sin(2nπ)] = |A|²·a/2 = 1

由于 sin(2nπ) = 0 对任意整数 n 成立，得到 |A|² = 2/a，取实数正根 A = √(2/a)。于是归一化波函数为

ψ_n(x) = √(2/a)·sin(nπx/a)，0 < x < a

这里有一个容易被忽略的细节：归一化系数与 n 无关，所有能级共用同一个 √(2/a)。原因在于正弦函数在整数个半周期上的平方积分恒为 a/2，与 n 的具体取值无关。这一点在后续数值验证中会再次体现——无论取哪个 n，积分结果都应回到 1。

概率密度与节点规律

概率密度为 ρ_n(x) = |ψ_n(x)|² = (2/a)·sin²(nπx/a)。它的零点出现在 sin(nπx/a) = 0 处，即 x = ka/n，k = 0, 1, …, n。其中 x = 0 和 x = a 是势阱壁，波函数必须为零，属于边界节点；阱内还有 n − 1 个节点，位置在 x = a/n, 2a/n, …, (n−1)a/n。

由此得到本节最重要的对应关系：第 n 个能级的波函数在阱内有 n − 1 个节点，概率密度有 n 个“峰”（含边界附近的半峰结构），节点数随能级序数线性增加。基态 n = 1 没有内部节点，概率密度是一个单峰，粒子最可能出现在阱中央；第一激发态 n = 2 在 x = a/2 处有一个节点，概率密度分裂为两个对称的峰；n = 3 有两个节点、三个峰，依此类推。节点越多意味着波函数振荡越快，对应动能越高，这正是“能级越高、节点越多”的物理图像。

下图以宽度 a = 1（归一化长度单位）为例，给出 n = 1、2、3 三个能级的概率密度曲线及其节点位置，同时标出归一化积分所对应的面积含义。

数值积分验证归一化

解析推导给出 ∫ρ_ndx = 1，但在实际编程或数值计算中，由于离散化误差，结果往往略偏离 1。用数值积分复核既能检验公式实现是否正确，也能让我们对误差量级有直观认识。下面给出一个可直接运行的 Python 示例，采用复合梯形公式，取 a = 1、n = 1, 2, 3，并比较不同网格数下的积分值。

import numpy as np

def rho(x, n, a=1.0):
    return (2.0/a) * np.sin(n*np.pi*x/a)**2

def trapezoid(f, a, b, N):
    x = np.linspace(a, b, N+1)
    y = f(x)
    h = (b - a) / N
    return h * (0.5*y[0] + y[1:-1].sum() + 0.5*y[-1])

for N in [10, 100, 1000]:
    for n in [1, 2, 3]:
        val = trapezoid(lambda x: rho(x, n), 0.0, 1.0, N)
        print(f"N={N:5d}  n={n}  integral={val:.8f}  error={abs(val-1):.2e}")

示例运行结果（属于教学示例，非实测数据）大致为：N = 10 时误差在 10⁻² 量级；N = 100 时误差降到 10⁻⁴ 量级；N = 1000 时误差约为 10⁻⁶ 量级。三个能级的积分值都随 N 增大而收敛到 1，且收敛速度相近。这说明归一化系数 √(2/a) 对所有 n 一致有效，也说明梯形公式对光滑周期函数的收敛性良好。

如果积分结果明显偏离 1（例如 N = 1000 时仍差 0.1 以上），通常不是物理问题，而是实现错误。常见原因有三类：一是把 sin² 误写成 sin，导致积分结果为 0；二是积分区间取成 [−a/2, a/2] 却仍用 sin(nπx/a) 而非对应的 cos 形式，造成边界条件不匹配；三是漏乘系数 2/a，使积分恒为 a/2。排查时可以先令 n = 1、N = 1000 单独验证，再逐步增加 n，观察误差是否随 n 异常增长。

节点数与能级序数的对应关系

把上面的结果整理成一张对照表，可以更清楚地看到节点、峰与能级的对应。下表以 a = 1 为例，列出前四个能级的节点位置与概率密度峰的位置。

这张表揭示了两条规律。第一，节点数严格等于 n − 1，节点等间距分布，间距为 a/n；第二，概率密度峰数等于 n，峰的位置在 (2k−1)a/(2n)，k = 1, …, n，相邻峰之间恰好隔着一个节点。能量按 n² 增长，而节点数按 n 线性增长，因此高能级的波函数在同样宽度内振荡得更剧烈——单位长度内的节点密度随 √E 增大，这与德布罗意波长随动量增大而缩短的图像一致。

最后需要强调坐标约定的统一性。本节全程采用阱壁位于 x = 0 与 x = a 的约定，波函数为正弦形式。若改用关于原点对称的区间 [−a/2, a/2]，波函数应写成 cos(nπx/a)（n 为奇数）与 sin(nπx/a)（n 为偶数）的分段形式，节点位置也随之平移，但节点数 n − 1、峰数 n、归一化系数 √(2/a) 这些结论完全不变。在绘图和数值积分时，务必先确认所用坐标系，避免把平移后的节点位置误判为计算错误。