4. 薛定谔方程数值求解基础

单量子比特受驱动演化的核心方程是含时薛定谔方程。在封闭系统中，态矢量随时间的演化由幺正算符描述：|ψ(t)⟩ = U(t)|ψ(0)⟩，其中 U(t) = exp(-iHt/ħ)（哈密顿量不显含时间时）。幺正性保证了态矢量内积守恒，即总概率恒为 1。这一性质是数值求解时必须守住的底线：任何数值方法若导致布居数之和偏离 1，就说明积分步长、截断或算法选择出了问题。

当哈密顿量含时（例如驱动场幅度随时间变化），解析解往往不存在，需要数值积分。常用方法包括：固定步长的四阶龙格–库塔（RK4）、基于矩阵指数的分段近似，以及 QuTiP 内部默认的自适应积分器。RK4 的局部截断误差为 O(dt⁵)，实现简单，但对刚性系统或强驱动需要较小步长；自适应方法会根据局部误差自动调整步长，在保证精度的同时减少计算量。QuTiP 的 mesolve 在无耗散（c_ops 为空）时本质上就是求解含时薛定谔方程，返回的密度矩阵演化等价于纯态幺正演化。

下面以固定驱动下的单量子比特为例。取驱动沿 x 方向，哈密顿量写作 H = (ω₀/2)σ_z + (Ω/2)cos(ω_d t)σ_x，其中 ω₀ 为比特频率，Ω 为拉比频率，ω_d 为驱动频率。为便于观察，采用旋转坐标近似后，共振驱动（ω_d = ω₀）下布居数呈标准正弦振荡，振荡角频率为 Ω。下面的代码在实验室坐标系下直接数值求解，不引入旋转坐标近似，因此会看到快速载波叠加在慢速包络上。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from qutip import sigmaz, sigmax, basis, mesolve

# 参数（示例假设值，单位：2π×GHz 量纲下取弧度制）
w0 = 2 * np.pi * 5.0      # 比特频率
Omega = 2 * np.pi * 0.2   # 拉比频率
wd = w0                   # 共振驱动

# 含时哈密顿量：H0 + H1 * cos(wd*t)
H0 = 0.5 * w0 * sigmaz()
H1 = 0.5 * Omega * sigmax()

def drive_coeff(t, args):
    return np.cos(wd * t)

H = [H0, [H1, drive_coeff]]

# 初态 |0>，无耗散
psi0 = basis(2, 0)
c_ops = []
tlist = np.linspace(0, 50, 2000)

result = mesolve(H, psi0, tlist, c_ops,
                 e_ops=[sigmaz(), sigmax()])

# 激发态布居数 P1 = (1 - <σz>)/2
P1 = 0.5 * (1 - result.expect[0])
plt.plot(tlist, P1)
plt.xlabel("时间 t")
plt.ylabel("激发态布居数 P1")
plt.show()

运行后应观察三点。第一，P1 在 0 与 1 之间振荡，峰值接近 1，说明驱动实现了完整的拉比翻转；若峰值明显低于 1，通常是驱动失谐或积分时间不足。第二，振荡包络的周期约为 2π/Ω，本例中 Ω = 2π×0.2，故完整翻转周期约 5 个时间单位，50 个时间单位内应看到约 10 个包络周期。第三，曲线上的快速细纹来自 cos(ω_d t) 载波，其周期远小于包络，采样点不足时会出现混叠，因此 tlist 需足够密（本例 2000 点）。

关于数值精度，有两个实用判据。其一是概率守恒：对每个时刻检查 Tr(ρ) = 1，QuTiP 返回的密度矩阵可直接用 result.states[i].tr() 验证，偏差应在 1e-8 量级。其二是收敛性：把 tlist 加密一倍或把积分器容差收紧（mesolve(..., options={"atol":1e-10,"rtol":1e-8})），若曲线形状与峰值位置基本不变，说明结果已收敛。若峰值随步长明显漂移，应优先怀疑采样不足而非物理效应。

还需注意坐标系约定。本文哈密顿量中 σ_z 的本征态 |0⟩ 对应能量 +ω₀/2，|1⟩ 对应 −ω₀/2，因此初态取 |0⟩ 时 P1 从 0 起振。若改用 basis(2,1) 作初态，曲线相位整体平移半个包络周期，这是初态选择而非求解错误。全文与图示均采用这一约定，切换时需明确说明。

把上述流程固化为可复用的检查顺序：先确认哈密顿量各项系数与符号，再确认初态与 e_ops 的对应关系，然后检查 tlist 是否覆盖至少两个包络周期且采样密度足以刻画载波，最后用概率守恒与步长收敛两项判据验收。做到这四步，固定驱动下的态演化结果就具备了可解释、可复现的基础，也为后续引入耗散与更复杂驱动波形做好了准备。