3. 量子计算基础速览

QAOA（量子近似优化算法）的线路并不神秘，它由若干最基本的量子操作拼装而成。要读懂一条 QAOA 线路，需要先建立四个概念：量子比特、叠加、纠缠与测量，以及把它们串起来的量子门。本节不追求量子力学的完整形式化，而是围绕“这些概念在 QAOA 线路里各自扮演什么角色”来展开，为后续建模打下可操作的直觉。

量子比特：从经典位到二维复向量

经典比特只能取 0 或 1。量子比特（qubit）的状态则用一个二维复向量描述，记作 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩，其中 α、β 为复数，满足 |α|² + |β|² = 1。|0⟩ 与 |1⟩ 是计算基，可写成列向量 (1,0)ᵀ 与 (0,1)ᵀ。α、β 称为概率幅，|α|² 与 |β|² 分别是在计算基下测得 0 和 1 的概率。

这里有两个容易踩坑的要点。第一，概率幅是复数，带有相位，相位在干涉中起作用，不能简单当成概率。第二，全局相位（整体乘 e^{iθ}）不可观测，但相对相位可观测，这正是量子门能改变结果的原因。在 QAOA 中，我们通常从 |+⟩^⊗n 出发，即每个比特处于 (|0⟩+|1⟩)/√2，它对应所有 2ⁿ 个比特串的均匀叠加。

叠加与纠缠：QAOA 的“搜索空间”与“关联结构”

叠加让一个 n 比特寄存器同时“覆盖”多个比特串。对组合优化而言，这相当于把候选解空间一次性编码进量子态：n 个比特的均匀叠加包含 2ⁿ 个候选解。但要注意，叠加本身并不等于并行计算，读出时仍只能得到一个比特串，QAOA 的威力来自叠加、相位编码与干涉的配合。

纠缠则描述多比特之间无法分解为各自独立状态的关联。以两比特的贝尔态 (|00⟩+|11⟩)/√2 为例，测量第一个比特得到 0，第二个必为 0；得到 1，第二个必为 1。这种关联无法用两个独立比特的乘积态表示。在 QAOA 中，问题哈密顿量里的耦合项（如 ZZ 项）正是通过纠缠把变量之间的约束“写进”量子态，使测量结果倾向于满足约束的比特串。

量子门：线路的“指令集”

量子门是作用在量子比特上的酉变换，可逆且保范数。理解 QAOA 线路，只需掌握几类门。单比特门方面，Hadamard 门 H 把 |0⟩ 变为 |+⟩，是制备叠加的入口；Pauli 门 X、Y、Z 分别对应绕 x、y、z 轴旋转 π；旋转门 Rx(θ)、Rz(θ) 是绕对应轴旋转 θ 角，QAOA 的变分参数正是通过它们注入。两比特门方面，CNOT 以控制位翻转目标位，是制造纠缠的基本工具；更一般地，ZZ(θ) 门对两个比特施加 e^{-iθZ⊗Z/2}，在 QAOA 中直接对应问题哈密顿量的耦合项。

一个常被忽略的细节是：Rz 门只改变计算基下的相对相位，不改变测量概率；它必须与后续的混合门、纠缠门配合，才能把相位差异转化为可观测的概率差异。这正是 QAOA“相位分离 + 混合”交替结构的物理来源。

测量：把量子态变成可用的样本

测量是量子计算与经典计算之间的接口。在计算基下测量 n 个比特，会以概率 |αₓ|² 得到比特串 x，且测量后状态坍缩到该基态。单次测量只给出一个样本，因此实际运行需要重复制备与测量多次（shots），用频率估计概率分布。例如设置 shots=1024，若比特串 101 出现 300 次，则估计概率约 0.293。QAOA 的经典优化器正是依据这些频率计算目标函数期望值，再更新 γ、β。

一个可手算的两比特示例

设问题为最小化 f(x₀,x₁) = x₀ + x₁ − 2x₀x₁，即只有 00 与 11 代价为 0，01 与 10 代价为 2。取 p=1，初始态为 |+⟩|+⟩。先施加 Rz(γ) 于每个比特，再施加 ZZ(γ) 耦合，然后施加 Rx(β) 于每个比特，最后测量。若取 γ=0.4、β=0.3（示例参数，非实测最优），可解析算出四个比特串的概率幅，进而得到期望代价。实际工程中我们不会手算，而是用模拟器或真机执行，读取 counts 字典，例如 {"00": 410, "11": 390, "01": 112, "10": 88}（示例数据），据此计算期望代价并交给经典优化器。判断线路是否“工作”的依据不是单次结果，而是高代价比特串的频率是否随迭代下降、低代价比特串是否上升。

为 QAOA 建模准备的检查清单

• 比特数 n 是否与问题变量数一致，变量到比特的映射是否固定并记录。
• 初始态是否为均匀叠加，H 门是否施加在每个参与变量上。
• 问题哈密顿量的单变量项与耦合项是否分别对应 Rz 与 ZZ 门，系数是否已折算进旋转角。
• 混合层是否使用 Rx(β) 且作用于全部比特，β 的符号约定是否与目标函数一致。
• 测量是否在计算基下进行，shots 是否足够大以稳定估计频率。
• 经典优化器读取的是期望代价还是其他指标，迭代停止条件是否明确。