4. 量子纠缠与贝尔态
在经典世界里，两个物体的状态可以分别描述：一枚硬币在甲地、另一枚在乙地，各自的正反面互不影响。量子纠缠打破了这种“可分性”。当两个量子比特处于纠缠态时，它们不再拥有各自独立的量子态，整个系统只能用一个不可分解的联合态来描述。本节从数学定义出发，给出贝尔态的制备电路，对比经典关联与量子关联，并通过一个可手算的数值模拟展示贝尔不等式的违背。
纠缠的数学定义
设复合系统由 A、B 两个子系统构成，其希尔伯特空间为 HA ⊗ HB。若联合纯态 |ψ⟩ 可以写成两个子系统态的直积
|ψ⟩ = |φ⟩A ⊗ |χ⟩B
则称该态为可分离态（直积态），此时 A、B 之间没有纠缠。反之，若不存在任何这样的分解，则 |ψ⟩ 是纠缠态。对于混合态，判据推广为：密度矩阵 ρ 若能写成 ρ = Σi pi ρA,i ⊗ ρB,i（pi ≥ 0，Σpi = 1），则为可分离态，否则为纠缠态。
最典型的纠缠态是两比特的四个贝尔态（最大纠缠态）：
|Φ±⟩ = (|00⟩ ± |11⟩)/√2， |Ψ±⟩ = (|01⟩ ± |10⟩)/√2
以 |Φ+⟩ 为例，测量 A 得到 0 的概率为 1/2，得到 1 的概率为 1/2；但一旦 A 测得 0，B 必为 0，A 测得 1，B 必为 1。单看任何一个比特都是完全随机的最大混合态，而联合测量结果却完全关联——这正是纠缠的物理意义：局部随机、全局确定。这种关联无法用“事先约定好的隐藏变量”解释，是量子力学非定域性的体现。
用 H + CNOT 制备贝尔态
制备 |Φ+⟩ 的电路只有两步。初始态 |00⟩，先对第一个比特施加 Hadamard 门：
H|0⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2
整体态：(|0⟩ + |1⟩)/√2 ⊗ |0⟩ = (|00⟩ + |10⟩)/√2再以第一个比特为控制位、第二个比特为目标位施加 CNOT 门。CNOT 在控制位为 1 时翻转目标位：
CNOT·(|00⟩ + |10⟩)/√2
= (|00⟩ + |11⟩)/√2 = |Φ⁺⟩若把 CNOT 的控制与目标互换，得到的是 |Φ+⟩ 的对称形式；若在 H 之后先对第二比特加 X 门，则可制备 |Ψ+⟩。四个贝尔态之间仅相差单比特的 Pauli 操作，这也是超密编码和量子隐形传态的基础。
经典关联与量子关联的差别
假设 Alice 和 Bob 各自收到一个比特，约定“两人结果总是相同”。在经典情形下，这可以解释为：源在分发时就把两个比特都设为 0 或都设为 1（各 50%），即一个隐藏变量 λ 决定了一切。这种关联满足贝尔不等式的约束。
量子纠缠给出的关联更强。考虑 CHSH 形式：Alice 在两种测量设置 a ∈ {0°, 45°} 下测量，Bob 在 b ∈ {22.5°, 67.5°} 下测量（角度为相对水平方向的偏振/自旋测量角），每次测量输出 ±1。定义关联量
S = E(a₀,b₀) − E(a₀,b₁) + E(a₁,b₀) + E(a₁,b₁)
其中 E(a,b) 是联合测量的期望值。对 |Φ+⟩，量子力学预言 E(a,b) = cos[2(b−a)]（角度差按 2 倍计入）。代入四组角度差：
| 设置对 | 角度差 b−a | E = cos[2(b−a)] |
|---|---|---|
| (a₀, b₀) | 22.5° | +0.7071 |
| (a₀, b₁) | 67.5° | −0.7071 |
| (a₁, b₀) | −22.5° | +0.7071 |
| (a₁, b₁) | 22.5° | +0.7071 |
于是 S = 0.7071 − (−0.7071) + 0.7071 + 0.7071 = 2√2 ≈ 2.828。而任何局域隐变量理论都要求 |S| ≤ 2。实验值超过 2，就构成贝尔不等式的违背，说明不存在能同时满足定域性和实在性的经典解释。注意：上述 2.828 是理想量子态的解析预言值；真实实验因探测效率、对准误差等会略低，但仍可稳定超过 2。
数值模拟任务：用采样估计 S
下面给出一个可直接运行的思路（示例参数，非实测数据）。核心是：对每组设置，按量子预言生成大量 ±1 样本，估计 E，再组合成 S。
import numpy as np
rng = np.random.default_rng(7)
angles_a = [0, np.pi/4] # 0°, 45°
angles_b = [np.pi/8, 3*np.pi/8] # 22.5°, 67.5°
N = 20000
def sample_E(a, b, n):
# 对 |Φ⁺⟩：P(同号)=cos²(b-a)，P(异号)=sin²(b-a)
p_same = np.cos(b - a)**2
same = rng.random(n) < p_same
# 同号时联合结果 (1,1) 或 (-1,-1) 各半；异号时 (1,-1) 或 (-1,1) 各半
s = rng.choice([-1, 1], size=n)
A = s
B = np.where(same, s, -s)
return np.mean(A * B)
E = {(i, j): sample_E(angles_a[i], angles_b[j], N)
for i in range(2) for j in range(2)}
S = E[(0,0)] - E[(0,1)] + E[(1,0)] + E[(1,1)]
print({k: round(v, 4) for k, v in E.items()})
print("S =", round(S, 4)) # 期望接近 2.828运行后四组 E 应分别接近 +0.707、−0.707、+0.707、+0.707，S 接近 2.83。判断标准很直接：若 S > 2（考虑统计误差，通常要求显著超出，例如 2.7 以上），则贝尔不等式被违背，纠缠关联得到体现；若把输入态换成直积态 |00⟩，则所有 E 都等于 1，S = 2，恰好落在经典边界上，不会违背。这个对照实验正是区分“经典关联”与“量子关联”的最简手段。
纠缠作为量子算法的资源
纠缠不是“奇怪的哲学现象”，而是可被算法消耗的资源。量子隐形传态用一个贝尔态加两个经典比特传输一个任意量子态；超密编码借助一个贝尔态，仅发送一个量子比特就能传递两个经典比特的信息；在 Grover 搜索、Shor 分解以及变分量子算法中，纠缠层决定了态空间可达的范围，是量子并行性超越经典的关键结构。理解贝尔态，就是理解这些算法“燃料”的起点。