4. 量子傅里叶变换与相位读出精度

相位估计的最后一公里，是把编码在量子态振幅里的相位信息“翻译”成一个可读的整数。这一步由逆量子傅里叶变换（Inverse QFT）完成。理解 QFT 的线路实现、二进制小数表示以及测量概率分布，是判断相位估计精度从何而来、又受什么限制的关键。

二进制小数：相位寄存器的语言

相位估计的寄存器由 t 个量子比特组成，其计算基态 |j⟩ 对应一个 t 位二进制串 j = j₁j₂…j_t。我们约定用二进制小数表示相位：

φ = 0.j₁j₂…j_t = j₁/2 + j₂/4 + … + j_t/2^t

这个约定把离散整数 j ∈ {0,1,…,2^t−1} 与 [0,1) 内的相位一一对应，分辨率步长为 1/2^t。例如 t=4 时，|1000⟩ 表示 φ=0.5，|0100⟩ 表示 φ=0.25，|0001⟩ 表示 φ=1/16=0.0625。注意这里的位序约定：j₁ 是最高位，对应 1/2 权重；j_t 是最低位，对应 1/2^t 权重。全文与图示均采用这一约定。

QFT 线路的结构

QFT 把计算基 |j⟩ 映射为等权叠加，其作用可写成：

QFT|j⟩ = (1/√2^t) Σ_k e^{2πijk/2^t} |k⟩

逆 QFT 则把相位信息从等权叠加中“聚焦”回单个基态。线路实现上，QFT 由 Hadamard 门与受控相位门级联构成，其标准分解为：对第 i 个比特施加 H 门，随后用后续比特作为控制、施加受控相位门 R_k = diag(1, e^{2πi/2^k})，最后做比特反转（可用 SWAP 门或重标号实现）。

以 t=3 为例，线路顺序为：对 q₁ 施加 H，再用 q₂、q₃ 分别控制 R₂、R₃；对 q₂ 施加 H，再用 q₃ 控制 R₂；对 q₃ 施加 H；最后交换 q₁ 与 q₃。受控相位门的数量为 t(t−1)/2，门深度随 t 增长，这是 QFT 在近期硬件上的主要开销来源。

测量概率分布与相位读出

相位估计的完整流程是：制备 |0⟩^⊗t|u⟩，对控制寄存器施加受控 U^{2^k}，此时寄存器处于 Σ_j c_j|j⟩ 的叠加态，其中 c_j 的模平方集中在最接近真实相位 φ 的整数附近；再对寄存器施加逆 QFT，最后测量得到整数 j，读出 φ̃ = j/2^t。

若真实相位恰好可写成 t 位二进制小数（即 φ = j₀/2^t），逆 QFT 后测量将以概率 1 得到 j₀，读出无误差。若 φ 不能精确表示，测量分布会以 j₀ = round(2^t φ) 为中心展宽，其概率分布形如：

P(j) = (1/2^{2t}) · |Σ_{k=0}^{2^t−1} e^{2πi(φ−j/2^t)k}|²

这是一个离散 sinc 型分布。当 2^t φ 与最近整数相差 δ 时，正确读出概率约为 (4/π²)·cos²(πδ) 量级；δ=0 时为 1，δ=0.5 时降到约 0.4。这意味着即使相位不可精确表示，只要增加 t，分布会越来越尖锐地集中在最近整数上。

固有分辨率与误差来源

相位估计的固有分辨率由寄存器位数决定：步长 Δφ = 1/2^t，最大读出误差为 ±1/2^{t+1}。这是“网格化”带来的量化误差，与算法无关，只与 t 有关。要把分辨率提高一倍，只需增加一个比特。

但实际精度还受两类因素制约。其一是相位门精度：受控 U^{2^k} 需要实现高次幂，门误差会直接污染相位信息，尤其在大 k 时累积明显。其二是 QFT 线路本身的深度与相干性：t 较大时受控相位门数量按 t² 增长，退相干与门错误会使分布展宽，抵消增加比特带来的收益。因此在含噪硬件上，t 的选择需要在分辨率与线路保真度之间权衡。

一个可复算的示例

设 t=4，真实相位 φ=0.3。则 2^t φ = 4.8，最近整数 j₀=5，读出 φ̃=5/16=0.3125，量化误差 0.0125，小于半步长 1/32=0.03125。若 φ=0.3125=5/16，则测量以概率 1 得到 j=5。若 φ=0.3，测量得到 j=5 的概率最高，j=4 与 j=6 出现较小旁瓣，直方图呈单峰。把 t 增到 6，步长变为 1/64≈0.0156，读出更接近 0.3，但受控门数量从 6 增至 15，需评估硬件是否支撑。

综上，QFT 是相位读出的“解码器”，二进制小数是它的语言，测量分布是它的输出特征，而 1/2^t 的分辨率与门误差、线路深度共同决定了最终精度。理解这四者的关系，才能在具体问题上合理选择寄存器位数与线路实现方式。