2. 变分电路基础回顾
在进入 Ansatz 选型之前，有必要把变分量子电路（Variational Quantum Circuit, VQC）的构成要素重新梳理一遍。Ansatz 的设计本质上是在四个维度上做权衡：参数化方式、电路宽度与深度、测量与期望值估计、以及由此决定的表达能力与纠缠能力。理解这四者的关系，才能在后续章节中判断"为什么这个 Ansatz 适合这个问题"。
参数化量子门：可训练性的来源
变分电路与固定电路的根本区别在于门参数是可优化的。常见的参数化门有三类：单比特旋转门 RX(θ)、RY(θ)、RZ(θ)，双比特参数化门如 CRX(θ)、CRY(θ)、CRZ(θ)，以及由固定门与参数组合而成的复合块。以 RY(θ) 为例，其矩阵形式为
RY(θ) = [[cos(θ/2), -sin(θ/2)],
[sin(θ/2), cos(θ/2)]]参数 θ 连续可调，梯度 ∂⟨H⟩/∂θ 可通过参数移位规则（parameter-shift rule）精确计算：对 RY(θ)，有 ∂⟨H⟩/∂θ = [⟨H⟩(θ+π/2) − ⟨H⟩(θ−π/2)]/2。这意味着每个参数需要两次额外的电路执行来估计梯度，直接决定了训练成本。设计 Ansatz 时，参数数量不是越多越好——参数越多，单次迭代的采样开销越大，且更容易陷入贫瘠高原（barren plateau）。
一个实用的经验是：优先使用 RZ 与 RY 的组合而非三个旋转门堆叠，因为全局相位在测量中不可观测，RZ 在某些硬件上还可作为虚拟 Z 旋转零成本实现。例如在超导平台上，RZ(θ) 通常通过相位偏移实现，不消耗额外的门时间。
电路宽度与深度：资源与能力的双重约束
宽度指量子比特数 n，决定了希尔伯特空间维度 2ⁿ，也决定了电路能表示的状态空间上限。深度指从输入到测量所经过的门层数，决定了电路能实现的纠缠结构与关联范围。二者共同构成硬件资源的硬约束：当前含噪声中等规模量子（NISQ）设备通常只有几十到上百个比特，且双比特门保真度有限，深度超过一定阈值后噪声会淹没信号。
以一个 4 比特、深度为 3 的硬件高效 Ansatz 为例：每层包含 4 个 RY 加 4 个 RZ，再加 3 个 CX 形成线性纠缠链。总参数数为 4×2×3 = 24 个，双比特门数为 9 个。若双比特门保真度为 99%，则整体电路保真度约为 0.99⁹ ≈ 91.4%；若深度翻倍到 6 层，保真度降至约 83.6%。这个估算说明：深度不是免费的，在选型时必须把噪声预算纳入考虑，而不是单纯追求表达能力。
测量与期望值估计
变分电路的输出不是直接可读的量子态，而是通过测量得到的期望值。对于目标哈密顿量 H = Σᵢ cᵢPᵢ（Pᵢ 为泡利串），需要将 H 分解为若干组对易的泡利项，每组在同一个测量基下并行测量。例如 H = 0.5·Z₀Z₁ + 0.3·X₀ + 0.2·Y₁，其中 Z₀Z₁ 一组、X₀ 与 Y₁ 因不对易需分开测量，共需 3 组测量设置。
每组测量需重复 shots 次（如 1024 或 4096），用频率估计概率，再计算期望值。估计误差随 shots 增加按 1/√shots 下降。实际工程中常用"分组测量 + 协方差优化"来减少测量组数，这是 Ansatz 评估阶段容易被忽视但影响显著的一环。测量设置的选择与 Ansatz 结构无关，却直接决定了单次迭代的墙钟时间。
表达能力与纠缠能力：Ansatz 的两个核心指标
表达能力描述 Ansatz 能覆盖的状态空间范围。一个极端是仅含单比特旋转的乘积态电路，其表达能力受限于无纠缠子空间；另一个极端是任意两比特门构成的通用电路，可逼近任意幺正变换，但深度代价极高。硬件高效 Ansatz 介于两者之间，通过交替的旋转层与纠缠层逐步扩展可达状态集。
纠缠能力则关注电路生成多体纠缠的效率。线性纠缠链（CX 仅连接相邻比特）的纠缠传播距离为 O(n)，而全连接或环形连接可在更少层数内产生长程关联。对于需要捕捉长程相互作用的哈密顿量（如某些分子或自旋链模型），纠缠拓扑必须与问题结构匹配，否则需要额外层数来"绕路"传递关联，反而增加噪声暴露。
下图把上述四个要素组织成一条从"参数化门"到"能力评估"的关系链，并标出宽度、深度、测量设置与噪声预算之间的相互制约：