2. 量子比特与纠缠态基础
在进入贝尔不等式的编程实验之前，必须先建立两样“地基”：一是单个量子比特如何用数学对象描述，二是两个量子比特如何形成纠缠。前者决定了我们怎样在代码里构造态矢量、怎样解释测量结果；后者决定了贝尔不等式为什么能够被违反。本节围绕布洛赫球表示、纠缠态定义与贝尔态构造展开，并用 QuTiP 实际创建贝尔态、观察其密度矩阵与纠缠特性。
一、量子比特的数学表示与布洛赫球
一个量子比特的纯态写成二维复希尔伯特空间中的单位矢量：
|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩, |α|² + |β|² = 1其中 α、β 为复数，|0⟩=(1,0)ᵀ、|1⟩=(0,1)ᵀ 是计算基。由于全局相位不可观测，去掉一个相位自由度后，纯态还剩两个实参数，恰好可以映射到三维单位球面上的一点，这就是布洛赫球。常用参数化为：
|ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
x = sinθ·cosφ, y = sinθ·sinφ, z = cosθ这里 θ∈[0,π] 是极角，φ∈[0,2π) 是方位角，布洛赫矢量 r=(x,y,z) 的模长为 1。几个关键位置需要记牢：北极 (0,0,1) 对应 |0⟩，南极 (0,0,−1) 对应 |1⟩，赤道上的 (1,0,0) 对应 |+⟩=(|0⟩+|1⟩)/√2，(0,1,0) 对应 |+i⟩=(|0⟩+i|1⟩)/√2。测量 Z 基时，得到 +1 的概率为 (1+z)/2，得到 −1 的概率为 (1−z)/2，这正是布洛赫球与实验计数之间的桥梁。
需要强调，布洛赫球只对单比特纯态是“球面”。一旦系统与环境作用成为混态，就要用密度矩阵 ρ 描述，此时布洛赫矢量模长小于 1，落在球内部；最大混态 I/2 对应球心。这个区别在后续处理噪声和退相干时非常重要。
二、纠缠态的定义
两比特纯态若不能写成两个单比特态的直积 |ψ⟩=|a⟩⊗|b⟩，就称为纠缠态。以贝尔态 |Φ⁺⟩=(|00⟩+|11⟩)/√2 为例，若假设它能分解为 (α|0⟩+β|1⟩)⊗(γ|0⟩+δ|1⟩)，则交叉项 αδ 与 βγ 必须同时为零，而 |00⟩、|11⟩ 的系数又要求 αγ=βδ=1/√2，两者矛盾，故不可分解。
纠缠的核心特征是局域测量结果的关联性。对 |Φ⁺⟩ 两方都测 Z 基，结果总是同号：要么都 +1，要么都 −1，各占一半，单方边缘分布完全随机，但联合结果完全相关。这种“单看随机、合看强相关”的结构，正是贝尔不等式实验要检验的对象。判断纠缠不能只看关联强弱，还要看这种关联能否用局域隐变量解释——这正是后续章节的任务。
三、四个贝尔态与构造方式
两比特最大纠缠基由四个正交归一态组成，常称为贝尔基：
| 态 | 表达式 | 关联特征（Z 基） |
|---|---|---|
| |Φ⁺⟩ | (|00⟩+|11⟩)/√2 | 同号相关 |
| |Φ⁻⟩ | (|00⟩−|11⟩)/√2 | 同号相关，相位相反 |
| |Ψ⁺⟩ | (|01⟩+|10⟩)/√2 | 反号相关 |
| |Ψ⁻⟩ | (|01⟩−|10⟩)/√2 | 反号相关，相位相反 |
在电路层面，从 |00⟩ 出发，对第一个比特施加 Hadamard 门得到 (|0⟩+|1⟩)/√2⊗|0⟩，再施加受控非门 CNOT（控制位为第一比特、目标位为第二比特），即得 |Φ⁺⟩。改变输入基态或追加相位门，可得到其余三个贝尔态。这一“H + CNOT”结构是制备纠缠的标准手段，也是 QuTiP 中构造贝尔态最直接的思路。
四、用 QuTiP 创建贝尔态并检查密度矩阵
QuTiP 用 Qobj 表示态与算符，用 tensor 做张量积。下面这段代码直接构造 |Φ⁺⟩ 并打印密度矩阵：
import numpy as np
import qutip as qt
# 计算基
ket0 = qt.basis(2, 0)
ket1 = qt.basis(2, 1)
# 贝尔态 |Φ⁺⟩ = (|00⟩ + |11⟩)/√2
phi_plus = (qt.tensor(ket0, ket0) + qt.tensor(ket1, ket1)).unit()
rho = phi_plus * phi_plus.dag()
print("维度:", rho.shape) # (4, 4)
print("迹:", rho.tr()) # 1.0
print("纯度:", (rho * rho).tr()) # 1.0，纯态
print(rho.full().round(3))预期输出中，ρ 是一个 4×4 矩阵，只有 (0,0) 与 (3,3) 两个对角元为 0.5，其余元素为 0。这里有一个容易误解的点：|Φ⁺⟩ 的相干性体现在 |00⟩ 与 |11⟩ 之间的叠加，但密度矩阵 ρ=|ψ⟩⟨ψ| 的交叉项 ⟨00|ρ|11⟩ 等于 α·β* = 0.5×0.5 的相位关系——在本例中 α=β=1/√2 为实数，交叉项 (0,3) 与 (3,0) 实际为 0.5，而非零。若打印结果中 (0,3)、(3,0) 为 0.5，说明叠加相位正确；若为 −0.5，则对应 |Φ⁻⟩。这是区分四个贝尔态最直接的数值判据。
为了验证纠缠，可以计算约化密度矩阵并求冯·诺依曼熵。对 |Φ⁺⟩，追踪掉第二个比特后得到 I/2，熵为 ln2≈0.693，这是两比特系统单方约化的最大值，说明单方信息完全丢失、纠缠最大：
rho_A = rho.ptrace(0) # 约化到第一个比特
S = qt.entropy_vn(rho_A) # 冯·诺依曼熵
print("约化态:\n", rho_A.full().round(3))
print("纠缠熵:", round(S, 4)) # ≈ 0.6931若把 |Φ⁺⟩ 换成直积态 |0⟩⊗|+⟩，同样计算会得到约化态为纯态、熵为 0，这就是“可分离”的数值标志。因此，约化熵是否大于 0 是判断两比特纯态是否纠缠的实用判据；对混态则需借助 PPT 判据或 concurrence，后续章节会用到。
五、可视化与结果判读
QuTiP 提供 qt.hinton(rho) 绘制密度矩阵的 Hinton 图，用方块面积表示元素模长、颜色表示正负相位；也可用 qt.plot_wigner 观察单比特约化态的相空间分布。对 |Φ⁺⟩ 的 Hinton 图，应看到左上与右下两个大方块，其余位置接近空白，这与上文矩阵结构一致。若图中出现明显的反对角元素，说明态中混入了 |01⟩、|10⟩ 分量，需要检查 CNOT 的控制位与目标位是否写反。
qt.bell_state('00') 时参数含义是“哪个贝尔态”，并非输入比特值；另外 tensor 的顺序决定比特编号，ptrace(0) 追踪的是第一个参数对应的子系统，顺序写反会导致约化态与预期不符。完成本节后，应能独立写出四个贝尔态的 QuTiP 表达式，能通过密度矩阵与约化熵判断一个两比特态是否纠缠，并能解释布洛赫球上一点与测量概率之间的定量关系。这些能力将直接支撑下一阶段构造测量算符、计算关联函数 E(a,b) 并代入 CHSH 组合。