2. 量子比特与狄拉克符号

上一节我们建立了“量子比特是二维复向量空间中的单位向量”这一基本认识。本节要把这个认识落到可读、可写、可计算的表示上：先用狄拉克符号把态写清楚，再用 Qiskit 的 Statevector 类把它变成程序里可以构造、可以查看、可以可视化的对象。学完本节，你应当能够看到一个形如 α|0⟩+β|1⟩ 的表达式就说出它的向量形式，也能在 Qiskit 中把任意单量子比特态构造出来并检查其概率分布。

一、态向量的两种写法

单量子比特的纯态写成列向量时是 [α, β]ᵀ，其中 α、β 为复数，且满足归一化条件 |α|²+|β|²=1。计算基的两个基向量分别是 |0⟩ 对应 [1, 0]ᵀ，|1⟩ 对应 [0, 1]ᵀ。任何单比特态都是这两个基向量的线性组合，系数就是概率幅。

狄拉克符号把这套写法压缩成“右矢”形式：|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩。这里 |·⟩ 称为 ket，表示一个列向量；与之配对的 ⟨·| 称为 bra，表示该向量的共轭转置，即行向量。bra 与 ket 相接 ⟨φ|ψ⟩ 得到内积（一个复数），ket 与 bra 相接 |ψ⟩⟨φ| 得到外积（一个矩阵）。这套记号的价值在于：它让“态”“内积”“算符作用”在书写上保持统一，而不必每次都展开成矩阵。

需要特别强调一个约定：α 和 β 是概率幅，不是概率。测量时得到 0 的概率是 |α|²，得到 1 的概率是 |β|²。概率幅带相位，而相位在干涉中起作用，这正是量子计算区别于经典概率计算的关键。此外，态向量整体乘以一个全局相位 e^{iγ} 不改变任何可观测结果，因此 |ψ⟩ 与 e^{iγ}|ψ⟩ 描述同一个物理态。

二、狄拉克符号的读写规则

读写时抓住几条规则即可避免出错。第一，ket 在左、bra 在右，⟨φ|ψ⟩ 与 ⟨ψ|φ⟩ 互为共轭复数，顺序不能随意交换。第二，基向量正交归一：⟨0|0⟩=⟨1|1⟩=1，⟨0|1⟩=⟨1|0⟩=0。第三，任意态与自身的内积 ⟨ψ|ψ⟩=1，这就是归一化条件在符号层面的表达。第四，算符 A 作用在 |ψ⟩ 上写作 A|ψ⟩，其共轭转置形式为 ⟨ψ|A†。

把具体态代入可以检验理解：设 |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + (i/√2)|1⟩，则 α=1/√2，β=i/√2。计算 |α|²=1/2，|β|²=|i|²/2=1/2，和为 1，归一化成立。测量得到 0 和 1 的概率各为 50%，但 β 携带的 i 相位会在后续门操作与干涉中体现出来。若把该态写成列向量，就是 [1/√2, i/√2]ᵀ；其 bra 为行向量 [1/√2, -i/√2]，注意虚部取共轭。

三、用 Statevector 构造单量子比特态

Qiskit 的 Statevector 类可以直接用一个复数列表构造态向量，列表顺序对应计算基 |0⟩、|1⟩ 的下标顺序。下面构造前面那个带虚相位的例子，并查看它的基本属性：

import numpy as np
from qiskit.quantum_info import Statevector

psi = Statevector([1/np.sqrt(2), 1j/np.sqrt(2)])
print(psi)                 # 态向量本身
print(psi.dim)             # 维度：2
print(psi.probabilities()) # 概率分布：[0.5, 0.5]
print(psi.probabilities_dict())  # {'0': 0.5, '1': 0.5}

运行后 probabilities() 返回 [0.5, 0.5]，与手算一致。probabilities_dict() 用比特串作键，更适合多比特场景。若想直接看概率幅，可以访问 psi.data，得到 [0.7071+0.j, 0.+0.7071j]。注意 Statevector 在构造时会检查归一化，若传入 [1, 1] 这类未归一化向量会抛出异常，这正好帮我们及早发现手算错误。

除了直接给向量，也可以先建一个单比特量子电路，施加门操作后再从电路提取态。例如对 |0⟩ 施加 Hadamard 门，得到 (|0⟩+|1⟩)/√2：

from qiskit import QuantumCircuit

qc = QuantumCircuit(1)
qc.h(0)
psi_h = Statevector.from_instruction(qc)
print(psi_h.data)          # [0.7071+0.j, 0.7071+0.j]
print(psi_h.probabilities())  # [0.5, 0.5]

这里 from_instruction 会模拟电路并返回末态，适合验证“门作用后态变成什么”。两种构造方式各有用途：直接给向量适合表达已知解析态，从电路提取适合检查门序列的效果。

四、可视化与结果判读

单比特态最直观的可视化是布洛赫球。调用 psi.draw('bloch') 会返回一个布洛赫球图，态向量指向球面上某一点。对 |0⟩ 指向北极，|1⟩ 指向南极，(|0⟩+|1⟩)/√2 指向赤道上的 +x 方向。布洛赫球的坐标与概率幅的关系是：z 分量等于 |α|²−|β|²，x、y 分量由相对相位决定。因此看到球面上的位置，就能反推概率差与相位差。

若只想快速核对数值，psi.draw('latex') 或 psi.draw('text') 会以公式或文本形式输出态表达式，适合在终端里检查。实际调试时建议组合使用：先用 probabilities() 核对概率，再用布洛赫球核对相位方向，两者都符合预期才算构造正确。

五、一个完整的核对流程

把上面的内容串成一次可复现的检查。假设我们要验证态 (1/√2)|0⟩ + (i/√2)|1⟩ 是否构造正确，可以按以下顺序操作：第一步，用 Statevector 构造并打印 data，确认两个分量的模都是 0.7071，第二个分量虚部为正；第二步，调用 probabilities()，确认返回 [0.5, 0.5]；第三步，调用 draw('bloch')，确认向量落在赤道面上且偏向 +y 方向，而不是 +x 方向——如果落在 +x，说明相位写错了，很可能把 i 漏掉或写成了 −i；第四步，若结果来自电路，用 from_instruction 重新提取一次，排除电路写错的可能。

这个流程中，概率检查负责发现模长错误，布洛赫球检查负责发现相位错误，两者互补。很多初学者只核对概率，结果把 (|0⟩+|1⟩)/√2 和 (|0⟩−|1⟩)/√2 当成同一个态，实际上它们只差一个相对相位，在后续 Hadamard 门作用后会产生完全不同的结果。养成“概率 + 相位”双重核对的习惯，是后续学习量子门与干涉的基础。

小结本节要点：狄拉克符号是态向量的紧凑写法，ket 为列、bra 为行，内积与外积是两种基本组合；概率幅的模方给出测量概率，相位影响干涉；Qiskit 中用 Statevector 直接构造或从电路提取，用 data、probabilities()、draw('bloch') 分别核对幅、概率与相位。掌握这套读写与核对方法，就可以进入下一阶段的门操作学习了。