4. 多量子比特测量与联合概率

单量子比特测量只能回答“这一个比特是 0 还是 1”，而多量子比特系统一次测量会同时给出所有比特的读数，例如两比特系统的一次测量结果是 01、10、00 或 11 中的一个。要完整描述这种测量行为，必须使用联合概率分布：把每个比特串（bitstring）看作一个整体结果，记录它出现的概率。本节以两比特系统为主线，说明如何从量子态计算联合概率、如何用热图呈现比特间的关联，以及边缘分布与联合分布之间的定量关系。

联合概率的计算：从态矢量到比特串

设两比特系统的量子态在计算基下写成

|ψ⟩ = c₀₀|00⟩ + c₀₁|01⟩ + c₁₀|10⟩ + c₁₁|11⟩

其中复系数满足归一化条件 Σ|cᵢⱼ|² = 1。在计算基下测量时，得到比特串 ij 的概率就是对应系数的模平方：

P(i,j) = |cᵢⱼ|²,  i,j ∈ {0,1}

这一步是全部统计分析的起点。需要注意，测量结果是比特串而不是两个独立数字，因此联合分布天然是一个 2×2 的概率表，行索引对应第一个比特，列索引对应第二个比特。若采用 Qiskit 等框架，习惯把比特串写成 q₁q₀ 的顺序（左侧为高位比特），在写代码和读热图时必须先固定这一约定，否则行列会整体转置，导致后续边缘分布与关联分析全部错位。

以一个具体的教学示例说明。假设经过某个两比特线路后得到如下（示例假设的）态矢量：

c₀₀ = 0.6,  c₀₁ = 0.0
c₁₀ = 0.0,  c₁₁ = 0.8

先检查归一化：0.36 + 0 + 0 + 0.64 = 1，满足要求。于是联合概率为 P(00)=0.36、P(01)=0、P(10)=0、P(11)=0.64。这个分布非常典型：只有 00 和 11 有概率，说明两个比特的取值被强关联在一起，这正是纠缠态（如 Bell 态）在计算基下的特征。若换成一个乘积态，例如 c₀₀=0.6、c₀₁=0.8、c₁₀=0、c₁₁=0，则 P(00)=0.36、P(01)=0.64，只有第一个比特恒为 0，两比特之间没有关联。

用热图可视化两比特关联

把 2×2 的概率表画成热图，是观察关联最直观的方式。横轴取第二个比特的取值，纵轴取第一个比特的取值，每个格子的颜色深浅表示概率大小，并在格内标注数值。对于上面的纠缠示例，热图呈现为对角线上的两个亮格（左上 0.36、右下 0.64），反对角线全暗；对于乘积示例，则只有第一行两个格子发亮。两种图案的差异一眼可辨，这就是热图相对于纯数字表格的价值。

实际做实验时，热图的数据来源是多次测量得到的计数（counts）。例如在模拟器或真机上运行 2000 次 shots，得到 counts = {'00': 720, '11': 1280}，则经验概率为 720/2000 = 0.36 与 1280/2000 = 0.64，与理论值一致。若 shots 较少，比如只有 100 次，计数会出现明显涨落，热图上可能出现本应为零的格子偶尔亮起，这时应结合统计误差判断，而不是把涨落误读为真实的关联结构。工程上通常把 shots 提高到数千至数万，或对多次实验结果取平均，使热图稳定反映真实分布。

边缘分布：从联合分布“求和”得到

联合分布描述两个比特的整体行为，而边缘分布只关心其中一个比特。对联合概率按行或按列求和即可得到边缘概率：

P(q₁ = i) = Σⱼ P(i, j)      （对第二比特求和）
P(q₀ = j) = Σᵢ P(i, j)      （对第一比特求和）

在上面的纠缠示例中，P(q₁=0) = 0.36 + 0 = 0.36，P(q₁=1) = 0 + 0.64 = 0.64；P(q₀=0) = 0.36，P(q₀=1) = 0.64。可以看到，两个比特各自的边缘分布完全相同，都是 0.36/0.64。这并不奇怪：纠缠态中两个比特的地位是对称的，单独看任何一个，都像是“以 0.36 概率为 0、0.64 概率为 1”的普通比特，只有把两者放在一起看，才能发现它们总是同取 0 或同取 1。

边缘分布与联合分布的关系可以用一个关键判据概括：若 P(i,j) = P(q₁=i)·P(q₀=j) 对所有 i、j 成立，则两比特相互独立（无关联）；否则存在关联。对纠缠示例检验：P(q₁=0)·P(q₀=0) = 0.36×0.36 = 0.1296，而实际 P(00) = 0.36，两者相差很大，说明存在强关联。对乘积示例检验：P(q₁=0)=1、P(q₀=0)=0.36、P(q₀=1)=0.64，则 P(00)=1×0.36=0.36、P(01)=1×0.64=0.64，与联合分布完全吻合，说明两比特独立。

这个判据也解释了为什么“边缘分布相同”不能推出“联合分布相同”。两个系统可以有完全一样的单比特统计，却因为关联结构不同而具有截然不同的联合分布。因此，在多量子比特测量中，只报告每个比特的 0/1 比例是不够的，必须同时给出联合分布或关联度量，否则会丢失系统最重要的量子信息。

关联的定量度量与实验判读

热图给出定性印象，进一步可用相关系数或互信息定量描述关联强度。对两比特 0/1 变量，常用皮尔逊相关系数：

E(q₁q₀) = P(11)
E(q₁) = P(q₁=1),  E(q₀) = P(q₀=1)
ρ = [E(q₁q₀) − E(q₁)E(q₀)] / √(Var(q₁)·Var(q₀))

对纠缠示例：E(q₁q₀)=0.64，E(q₁)=E(q₀)=0.64，Var 均为 0.64×0.36=0.2304，代入得 ρ = (0.64 − 0.4096)/0.2304 ≈ 1.0，即完全正关联。对乘积示例：E(q₁q₀)=0，E(q₁)=0，ρ=0，无关联。实际实验中由于计数涨落，ρ 不会精确等于 1 或 0，应结合 shots 数估计置信区间，例如用自助法（bootstrap）重采样 counts 得到 ρ 的分布，判断其是否显著偏离 0。

在实验流程上，建议按以下顺序操作：先固定比特顺序约定并记录在实验元数据中；运行线路获取 counts；把 counts 整理成 2×2 计数表并归一化为联合概率；绘制热图并标注数值；按行、列求和得到边缘分布；用独立性判据或相关系数判断关联；最后把联合分布、边缘分布和关联指标一并保存。这样一套流程既能用于 Bell 态验证，也能用于排查线路中的非预期关联，例如本应独立的两个比特出现了明显同向涨落，往往提示存在串扰或读出错误。