📚 课程目录第4章两量子比特纠缠制备电路设计

4. 两量子比特纠缠制备电路设计

贝尔态是两量子比特纠缠的“标准样本”，也是后续量子隐形传态、纠缠交换、量子纠错等实验的起点。本节聚焦最基础的一条制备路径：把系统从确定性的计算基态 |00⟩ 变成最大纠缠态 |Φ⁺⟩ = (|00⟩ + |11⟩)/√2。整条电路只有两个门——一个 Hadamard 门和一个 CNOT 门，但要让“仿真结果”真正可信，还需要态层析与保真度评估把电路闭环。

一、为什么是 H + CNOT：从可分离到纠缠

初态 |00⟩ 是两个比特的可分离态，对它做任何单比特操作都只能得到“乘积态”，无法产生纠缠。纠缠必须来自两比特之间的相互作用，CNOT 正是最典型的双比特受控门。因此标准做法是：先在控制比特上施加 H，制造叠加；再用该比特控制目标比特做 CNOT，把叠加“复制”成关联。

按量子力学的线性性逐步计算。约定比特顺序为 |q₁q₀⟩，q₁ 为控制比特（高位），q₀ 为目标比特（低位）。第一步对 q₁ 施加 H：

H|0⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2
H|0⟩ ⊗ |0⟩ = (|00⟩ + |10⟩)/√2

此时两比特仍可分离，只是控制比特处于叠加。第二步施加 CNOT（控制 q₁、目标 q₀），它把 |10⟩ 翻转为 |11⟩，而 |00⟩ 保持不变：

CNOT · (|00⟩ + |10⟩)/√2 = (|00⟩ + |11⟩)/√2 = |Φ⁺⟩

结果中 |00⟩ 与 |11⟩ 等幅同相，无法写成两个单比特态的直积，纠缠由此产生。若把 H 放在 q₀ 上、CNOT 控制 q₀ 目标 q₁，得到的同样是 |Φ⁺⟩，只是比特角色互换；但若 H 与 CNOT 的控制/目标关系不匹配，例如 H 加在目标比特上却仍用另一比特控制，则得到的是 |Ψ⁺⟩ = (|01⟩ + |10⟩)/√2，属于另一类贝尔态。这说明“哪个比特做控制、H 加在谁身上”直接决定制备出哪一个贝尔态，是电路设计中最容易出错的地方。

二、电路实现：门序、比特映射与仿真设置

在 Qiskit 中，这条电路可以写成非常紧凑的形式。下面示例采用 2 比特寄存器，q[0] 为控制比特、q[1] 为目标比特，与上文 |q₁q₀⟩ 的约定在角色上一致（q[0] 承担控制角色）：

from qiskit import QuantumCircuit, transpile
from qiskit_aer import AerSimulator

qc = QuantumCircuit(2, 2)
qc.h(0)          # 控制比特制造叠加
qc.cx(0, 1)      # 控制 q0，目标 q1
qc.measure([0, 1], [0, 1])

sim = AerSimulator()
tqc = transpile(qc, sim)
result = sim.run(tqc, shots=4096).result()
counts = result.get_counts()
print(counts)    # 期望约 {'00': ~2048, '11': ~2048}

仿真结果应呈现两个显著特征：其一，计数只出现在 00 与 11 两个比特串上，01 与 10 接近 0；其二，00 与 11 的计数各占约一半。若 01/10 明显出现，说明 CNOT 的控制/目标接反或 H 加错比特；若 00 与 11 比例严重失衡，则要检查是否存在退相干、读出误差或门参数问题。需要强调，上述计数是理想仿真下的期望分布，实际硬件会因噪声偏离。

三、态层析：从计数反推密度矩阵

只看计算基计数只能确认“像贝尔态”，不能排除相位错误。例如 (|00⟩ − |11⟩)/√2 在计算基下计数完全相同，却是另一个贝尔态。要完整刻画两比特态，需要做量子态层析：对每个比特分别选择 X、Y、Z 三种测量基，两比特共 3×3 = 9 种基组合；由于全局相位不可观测，实际常用 15 组泡利期望值 ⟨P₁⊗P₂⟩ 来重构 4×4 密度矩阵 ρ。

操作上，对每组基在测量前插入相应的基变换门（测 X 加 H，测 Y 加 S†H），再运行数千次 shots 得到联合计数，用 ⟨ZZ⟩ = (N₀₀ + N₁₁ − N₀₁ − N₁₀)/N 这类公式估计期望值。把 15 个期望值代入线性反演或最大似然估计，即得 ρ。对理想 |Φ⁺⟩，其密度矩阵只有四个非零元：ρ₀₀ = ρ₁₁ = ρ₀₃ = ρ₃₀ = 0.5（按 |00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩ 排序）。仿真中若看到 ρ₀₃ 的虚部接近 0、实部接近 0.5，说明相位关系正确。

四、保真度评估与判据

保真度定义为 F = ⟨Φ⁺|ρ|Φ⁺⟩，取值 0 到 1。对理想态 F = 1；含噪声时 F 下降。工程上常把 F > 0.9 视为“制备成功”的粗略门槛，但具体阈值取决于实验目标。除保真度外，还可看纠缠度：对两比特纯态可用 concurrence C = 2|ρ₀₃|，理想贝尔态 C = 1。若 F 高但 C 低，往往提示存在可分离成分混入；若两者都低，则优先排查门误差与读出误差。

实操建议：先用理想仿真确认计数分布与密度矩阵形态，再逐步加入读出误差、退相干模型，观察 F 与 C 的变化趋势，这样能把“电路对不对”和“噪声大不大”两类问题分开定位。

五、常见偏差与排查方向

出现 01/10 计数：CNOT 控制与目标接反，或 H 加在了目标比特上，导致制备成 |Ψ⁺⟩。
00 与 11 比例失衡：H 门校准偏差、读出误判或退相干，可先做单比特 Rabi/读出标定。
计数正确但 F 偏低：相位错误或层析基变换门有误，重点核对 Y 基的 S†H 顺序与符号约定。
层析结果不物理（负本征值过大）：shots 太少或期望值估计偏差，增加采样并改用最大似然估计。

把这条最小电路走通，就掌握了“制备—仿真—层析—保真度”的完整验证链。后续更复杂的多比特纠缠态制备，本质上都是在这条链上扩展门序与测量基组合。