2. 自由空间量子信道物理基础

自由空间量子信道与光纤信道最大的区别在于：传输介质不是稳定的玻璃波导，而是不断变化的湍流大气。量子态在到达接收端之前，会经历四类彼此耦合的物理过程——能量衰减、相位/波前扰动、背景光叠加与偏振/模式退相干。链路预算与信道建模的任务，就是把它们分别量化，再合成一个可预测的端到端性能指标。

一、大气衰减：先算“还剩多少光子”

衰减决定链路能否建立。自由空间衰减主要由几何扩散、大气吸收与散射、以及瞄准误差构成。几何扩散按平方反比：接收功率 P_r = P_t·(D_r/(D_t+θL))²，其中 θ 为发散角，L 为距离。以 1550 nm 激光、发散角 20 μrad、距离 10 km 为例，光斑直径约 0.2 m，若接收口径 0.2 m，几何耦合效率约 0.25（−6 dB）。

大气吸收与散射用 Beer-Lambert 定律描述：T = exp(−σ·L)，σ 为消光系数。晴朗天气 σ≈0.1–0.3 km⁻¹，10 km 透过率约 0.05–0.37（−13 至 −3 dB）；中雾 σ 可达 10 km⁻¹ 以上，透过率降到 10⁻⁴³ 量级，链路直接中断。因此工程上常把能见度 V 与 σ 关联：σ ≈ 3.91/V·(λ/550 nm)^−q，q 取 0.585V^1/3（V<60 km）。

瞄准误差是另一项独立损耗。设径向偏差服从瑞利分布，抖动标准差 σ_p，则平均耦合效率 η_p ≈ (w₀²/(w₀²+4σ_p²))，w₀ 为接收面光斑半径。σ_p=0.2w₀ 时 η_p≈0.86（−0.65 dB），σ_p=w₀ 时降到 0.2（−7 dB）。

二、湍流效应：不是简单衰减，而是随机起伏

湍流由折射率随机起伏引起，强度用折射率结构常数 C_n² 表征：弱湍流 10⁻¹⁷–10⁻¹⁵ m^−2/3，强湍流 10⁻¹⁴–10⁻¹³ m^−2/3。它带来三种可观测效应：

• 光强闪烁：接收功率随时间随机涨落，闪烁指数 σ_I² = ⟨I²⟩/⟨I⟩²−1。弱起伏下 σ_I² ≈ 1.23 C_n² k^7/6 L^11/6，k=2π/λ。10 km、C_n²=10⁻¹⁵ 时 σ_I² 可达 0.5 以上，意味着瞬时功率可能低于均值 10 dB。
• 波前畸变：到达角抖动使耦合进单模光纤的效率剧烈波动，相干长度 r₀ 越小越严重。
• 光束漂移：大尺度湍流使光斑整体偏移，叠加瞄准误差。

建模时常用 Gamma-Gamma 分布描述归一化光强 I 的概率密度，其形状参数 α、β 由大尺度与小尺度湍流决定。链路预算不能只用平均值，必须给出中断概率：P(I<I_th)。例如要求密钥率不低于某阈值，就要保证 P_out<10⁻³，这通常需要 10–20 dB 的功率余量。

三、背景光噪声：白天与夜晚差几个数量级

背景光进入接收视场后，在探测器上产生暗计数之外的额外计数。单光子探测器输出计数率近似为：

R_det ≈ η·(R_sig + R_bg) + R_dark
R_bg = L_bg·Ω_FOV·A_r·Δλ·η_opt / (h·c/λ)

其中 L_bg 为背景辐亮度，Ω_FOV 为接收视场立体角，Δλ 为滤波带宽。典型值：夜晚天空 L_bg≈10⁻⁶ W·m⁻²·sr⁻¹·nm⁻¹，白天晴空可达 10⁻² 量级，相差约 10⁴ 倍。若视场 100 μrad、口径 0.2 m、带宽 1 nm，夜晚 R_bg 约 10³ s⁻¹，白天可达 10⁷ s⁻¹，直接淹没信号。因此必须用窄带滤波（0.1–1 nm）、小视场（10–100 μrad）和时间门控（纳秒级符合窗口）联合抑制。

四、偏振与模式退相干：量子信息真正的敌人

偏振编码的量子态在湍流中会因双折射、散射和波前畸变发生偏振旋转与退偏。可用 Mueller 矩阵或等效的偏振相关损耗描述：接收端偏振对比度 V=(I_max−I_min)/(I_max+I_min)，理想为 1，实际链路可能降到 0.9 以下。偏振漂移时间尺度从毫秒到秒，需实时反馈补偿。

模式退相干则影响高维编码和空间模式复用。湍流使不同模式间发生串扰，模式保真度 F 随传播距离和 C_n² 下降。对于 OAM 模式，串扰功率比可近似为 exp(−L/L_c)，L_c 为模式相干长度，强湍流下可能只有几百米。

五、把四类效应合成一个可用的信道模型

工程上建议采用“平均损耗 + 随机起伏 + 噪声底 + 退相干因子”四层结构。第一层用 Beer-Lambert 与几何扩散算出平均接收功率；第二层用 Gamma-Gamma 分布或对数正态分布给出功率的概率密度，从而计算中断概率；第三层把背景计数与暗计数相加，得到探测器总计数率，再结合符合窗口估算 QBER；第四层用偏振对比度 V 和模式保真度 F 修正量子态保真度，最终得到密钥率下界。

一个可操作的建模流程如下：

1. 根据距离、发散角、口径计算 η_geo；
2. 根据能见度或 σ 计算 η_atm；
3. 根据抖动标准差计算 η_aim；
4. 根据 C_n² 和 L 计算闪烁指数 σ_I²，选择分布模型；
5. 根据 L_bg、Ω_FOV、Δλ 计算 R_bg，加上 R_dark；
6. 根据偏振对比度 V 和模式串扰修正态保真度；
7. 用 Monte Carlo 抽样 I，计算 P_out 与平均密钥率。