2. 量子态与信息编码基础
量子通信之所以能突破经典通信在安全性与信道容量上的部分限制，根源在于信息载体从经典比特换成了量子比特。经典比特只有 0 或 1 两种确定状态，而量子比特（qubit）的状态是二维复希尔伯特空间中的单位矢量，通常写成
|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩，其中 α、β 为复数，且满足归一化条件 |α|² + |β|² = 1。
这里 |0⟩ 与 |1⟩ 是一组正交基，称为计算基。α 和 β 称为概率幅，它们本身不可直接观测，只有模平方才对应测量得到 0 或 1 的概率。这一点是量子编码与经典编码最本质的分界：经典编码直接操作确定的 0/1 序列，量子编码操作的是概率幅与相位，而相位又会在干涉中影响后续测量结果。
叠加、相位与布洛赫球表示
叠加态意味着一个量子比特可以同时“包含”|0⟩ 和 |1⟩ 的成分。例如 |+⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2，测量时得到 0 和 1 的概率各为 50%。但叠加并不等于“不知道是 0 还是 1”，因为 |+⟩ 与 |−⟩ = (|0⟩ − |1⟩)/√2 在计算基下测量结果完全相同，却可以通过 Hadamard 门区分。这说明相位是真实存在的物理资源，也是量子编码必须保护的对象。
单量子比特纯态可以用布洛赫球上的一个点表示：球面北极对应 |0⟩，南极对应 |1⟩，赤道上的点对应等概率叠加态，方位角反映相对相位。若把状态写成
|ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^{iφ} sin(θ/2)|1⟩，
则 θ 决定测量得到 0/1 的概率分配，φ 决定相位。量子编码中的很多错误，本质上就是 θ 或 φ 发生了非预期偏移。因此，纠错码不仅要对抗比特翻转（|0⟩↔|1⟩），还要对抗相位翻转（|+⟩↔|−⟩）。
纠缠：多量子比特的联合约束
当系统扩展到两个或更多量子比特时，状态空间维数按 2ⁿ 增长。两比特的一般纯态可写为
|Φ⟩ = a|00⟩ + b|01⟩ + c|10⟩ + d|11⟩，且 |a|²+|b|²+|c|²+|d|²=1。
如果该状态不能写成两个单比特状态的张量积，就称为纠缠态。最典型的 Bell 态之一为
|Φ⁺⟩ = (|00⟩ + |11⟩)/√2。
在这个态中，单独测量第一个比特得到 0 或 1 的概率各半，但一旦测得第一个比特为 0，第二个比特必然为 0；测得第一个为 1，第二个必然为 1。这种关联不是经典相关性，而是联合态本身的结构。纠缠是量子密钥分发、量子隐形传态和纠缠辅助通信的核心资源，但它极其脆弱，任何与环境的耦合都可能使其退相干。
测量：从量子态到经典结果的唯一出口
量子信息最终要被经典设备读取，必须经过测量。对 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ 在计算基下测量，得到 0 的概率为 |α|²，得到 1 的概率为 |β|²，测量后状态坍缩到对应基态。若换一组测量基，例如 X 基 {|+⟩, |−⟩}，则先要把态投影到该基上再计算概率。
测量具有不可逆性和扰动性：未知量子态不能被精确复制（不可克隆定理），也不能通过一次测量完整获取 α 和 β。这直接约束了量子编码方案：不能像经典通信那样先采样再判决，必须设计间接的校验与纠错机制，例如通过辅助比特和联合测量提取错误症状而不破坏编码信息。
量子信息编码的数学表示与物理约束
从编码角度看，一个量子纠错码通常把 k 个逻辑量子比特编码到 n 个物理量子比特中，记为 [[n,k,d]]，其中 d 是最小距离，决定可纠正的错误数量 t = ⌊(d−1)/2⌋。编码过程可理解为在 2ⁿ 维空间中选取一个 2ᵏ 维子空间，称为码空间。逻辑态 |0̄⟩ 和 |1̄⟩ 是该子空间中的特定矢量。
物理实现上，量子比特并非理想二能级系统。以超导 transmon 为例，常见参数包括：谐振频率约 4～6 GHz，非谐性约 −200～−300 MHz，T₁ 约 50～200 μs，T₂ 约 30～150 μs。这些参数直接决定门操作时间与错误率。若单比特门时间约 20 ns，双比特门约 200 ns，则在 T₂ 时间内可执行的门数量有限，编码必须考虑门深度与测量延迟。
此外，量子比特还存在泄漏到 |2⟩ 态、读出串扰、控制脉冲失真等问题。编码方案若只考虑理想比特翻转和相位翻转，而忽略泄漏与关联噪声，实际纠错效果会显著下降。因此，量子编码的数学表示必须与物理噪声模型对齐：是独立比特翻转、相位翻转、去极化，还是相关噪声，决定了应选择表面码、色码还是其他拓扑码。
从数学表示到工程选择
理解上述基础后，量子通信链路中的编码决策就有了依据。若信道主要表现为独立比特翻转，可优先考虑重复码或经典纠错码的量子对应；若相位噪声占主导，则必须使用能同时处理 X 和 Z 错误的 CSS 码或表面码。以表面码为例，距离 d=3 时可纠正 1 个任意单比特错误，需要约 9 个物理数据比特加 8 个辅助比特；距离 d=5 时物理比特数上升到约 49 个，但逻辑错误率可显著降低。实际选择时，要比较物理错误率 p 与码的阈值 p_th：当 p < p_th 时，增大 d 能指数压低逻辑错误率；当 p 接近或超过阈值时，增加物理比特反而无益。
因此，量子态与信息编码基础不是抽象数学，而是后续链路稳定工程的起点。只有明确叠加与相位如何被噪声破坏、纠缠如何退相干、测量如何限制信息提取，才能合理设计编码方案、分配物理资源，并在实际系统中判断纠错是否真正生效。