2. 光场量子化基础

在经典电磁理论中，光场由连续的电场振幅 E(r,t) 描述，能量可以取任意值。但涉及关联测量时，光子的离散性、探测统计和噪声特性无法用经典模型解释。光场量子化就是把每个空间模式中的电磁场用产生算符 a† 和湮灭算符 a 表示，使能量、光子数和相位都成为算符，从而为后续的相干性、二阶关联和压缩测量提供统一语言。

一、单模量子化：从谐振子到光子数态

把光场限制在一个体积为 V 的腔中，并只保留一个波矢 k、一个偏振方向，就得到单模光场。该模式的哈密顿量可写成谐振子形式：

H = ħω (a†a + 1/2)

其中 a†a 是光子数算符，本征态记为 |n⟩，满足 a†a|n⟩ = n|n⟩。|n⟩ 称为光子数态（Fock 态），表示该模式中恰好有 n 个光子。产生算符作用为 a†|n⟩ = √(n+1)|n+1⟩，湮灭算符作用为 a|n⟩ = √n|n−1⟩。光子数态的光子数完全确定，但相位完全不确定，因此其电场期望值为零，只能通过关联测量观察其涨落。

单模量子化的关键结论是：光场能量以 ħω 为单位离散变化，且存在零点能 ħω/2。零点能不会直接产生光子，但会进入正交分量涨落，是压缩态和真空噪声讨论的起点。

二、多模量子化：模式展开与探测模式

实际光场包含大量模式，例如不同频率、不同波矢、不同偏振或不同空间分布。多模量子化把电场写成各模式算符的叠加：

E(r,t) = Σ_k [ E_k a_k e^{i(k·r−ω_k t)} + E_k* a_k† e^{−i(k·r−ω_k t)} ]

每个模式有独立的 a_k、a_k† 和光子数算符 n_k = a_k†a_k。不同模式之间满足对易关系 [a_j, a_k†] = δ_jk。多模光场的总光子数为各模式光子数之和。在关联测量中，探测器的时间分辨和频谱宽度决定了它实际响应哪些模式；如果探测器带宽远大于光源带宽，则可能同时收集多个模式，使测得的统计偏离单模理论。因此，做 Hanbury Brown–Twiss 或压缩测量时，必须明确探测模式数量，否则会把多模热光误判为单模热光。

三、相干态：最接近经典的光场

相干态 |α⟩ 是湮灭算符的本征态：a|α⟩ = α|α⟩，其中 α 为复数，可写成 α = |α|e^{iθ}。它可由真空态位移得到：|α⟩ = D(α)|0⟩，位移算符 D(α) = exp(αa† − α*a)。相干态的光子数服从泊松分布：

P(n) = e^{−|α|²} |α|^{2n} / n!

平均光子数 n̄ = |α|²，方差 Δn² = n̄，因此 Δn = √n̄。当 n̄ 较大时，相对涨落 Δn/n̄ = 1/√n̄ 趋于零，电场期望值呈现稳定的经典振荡。相干态的二阶关联函数 g²(0) = 1，是区分经典与量子统计的重要基准。在关联测量中，若测得 g²(0) 明显小于 1，说明光源具有反聚束或压缩特性；若明显大于 1，则可能是热光或多模效应。

四、压缩态：把噪声“挤”到一侧

压缩态通过压缩算符 S(ξ) = exp[(ξ*a² − ξa†²)/2] 作用于真空或相干态产生，其中 ξ = r e^{iφ} 为压缩参数。定义两个正交分量：

X₁ = (a + a†)/2,  X₂ = (a − a†)/(2i)

它们满足 [X₁, X₂] = i/2，因此不确定度关系为 ΔX₁·ΔX₂ ≥ 1/4。真空态下 ΔX₁ = ΔX₂ = 1/2。压缩态使其中一个分量噪声低于 1/2，例如 ΔX₁ = e^{−r}/2，另一个分量则放大为 ΔX₂ = e^{r}/2。压缩态的光子数服从超泊松分布，g²(0) 可大于 1，但它的正交分量噪声降低可直接用于提高干涉仪灵敏度。在实验上，压缩度通常用 dB 表示：压缩度(dB) = −10 log₁₀(ΔX₁² / ΔX_vac²)。例如 r = 0.5 时，ΔX₁² 降为真空的 e^{−1} ≈ 0.368，对应约 4.3 dB 压缩。

五、热态：多模混沌光的统计

热态是许多独立模式在随机相位下叠加的结果，其光子数分布为玻色-爱因斯坦分布：

P(n) = n̄^n / (1 + n̄)^{n+1}

热态的方差 Δn² = n̄(n̄ + 1)，明显大于泊松分布，属于超泊松统计。其二阶关联函数 g²(0) = 2，表现出光子聚束效应。对于包含 M 个模式的热光，g²(0) = 1 + 1/M。当 M 很大时，g²(0) 趋近于 1，热光统计接近相干态。这一关系在关联测量中非常实用：通过测量 g²(0) 可以反推有效模式数 M = 1/(g²(0) − 1)。例如测得 g²(0) = 1.05，则 M ≈ 20，说明探测器收集了约 20 个模式。

六、统计性质对照与测量判断

总结来看，单模量子化给出光子数态和正交分量算符，多模量子化把电场展开为独立模式的叠加；相干态、压缩态和热态分别对应不同的光子数分布和 g²(0) 值。掌握这些统计性质，是后续理解关联测量、聚束与反聚束、压缩度标定以及模式数反推的基础。