3. 量子光学核心工具

在量子增强干涉精密测量中，光源的量子态决定了相位估计的极限精度。经典干涉仪使用相干态作为输入，其相位灵敏度受散粒噪声极限约束，即 \(\Delta\phi \propto 1/\sqrt{N}\)，其中 \(N\) 为参与干涉的平均光子数。要突破这一极限，必须引入非经典量子态。本节从数学描述出发，逐一分析相干态、压缩态、福克态、NOON态和双模压缩真空态在干涉相位估计中的角色与适用条件。

相干态：经典基准与散粒噪声极限

相干态 \(|\alpha\rangle\) 是湮灭算符 \(\hat{a}\) 的本征态，满足 \(\hat{a}|\alpha\rangle = \alpha|\alpha\rangle\)，其中 \(\alpha = |\alpha|e^{i\theta}\) 为复数振幅。在光子数表象中展开为：

|α⟩ = e^{-|α|²/2} Σ (αⁿ/√n!) |n⟩

相干态的光子数服从泊松分布，平均光子数 \(\bar{n} = |\alpha|^2\)，方差 \(\Delta n^2 = |\alpha|^2\)。其正交分量方差对称，\(\Delta X_1 = \Delta X_2 = 1/2\)（以真空噪声为单位）。在马赫-曾德尔干涉仪中，两臂输入相干态时，相位估计精度为：

Δφ_coh = 1 / √(N̄ · η · T)

其中 \(N̄\) 为总平均光子数，\(\eta\) 为探测效率，\(T\) 为传输效率。该式即散粒噪声极限，是量子增强测量的比较基准。相干态的优势在于制备简单、损耗鲁棒，但无法突破标准量子极限。

压缩态：正交分量噪声重分配

压缩态通过压缩算符 \(\hat{S}(\xi) = \exp[\frac{1}{2}(\xi^*\hat{a}^2 - \xi\hat{a}^{\dagger 2})]\) 作用于真空或相干态产生，其中 \(\xi = re^{i\phi}\) 为压缩参数。压缩后，某一正交分量的方差低于真空噪声：

ΔX₁² = (1/4)e^{-2r},  ΔX₂² = (1/4)e^{+2r}

压缩态在干涉测量中通常将压缩方向对准相位敏感分量。以压缩真空注入马赫-曾德尔干涉仪信号端口，相位灵敏度改善为：

Δφ_sq = 1 / √(N̄ · e^{2r} · η · T)

当 \(r \approx 1\)（约 8.7 dB 压缩）时，灵敏度可提升约 2.7 倍。压缩态的工程价值在于其与现有相干态干涉仪兼容，已在地面引力波探测器（如 LIGO）中实现注入。但压缩对损耗敏感，探测效率 \(\eta\) 会直接削弱压缩增益。

福克态：确定光子数的相位不确定性

福克态 \(|n\rangle\) 是光子数算符 \(\hat{n} = \hat{a}^\dagger\hat{a}\) 的本征态，满足 \(\hat{n}|n\rangle = n|n\rangle\)。其光子数完全确定，\(\Delta n = 0\)，但相位完全不确定。在干涉中，福克态本身不直接提供相位参考，需与相干态或另一福克态组合。双福克态 \(|n\rangle|n\rangle\) 输入干涉仪时，若两臂光子数相同，相位差为零时干涉条纹最陡，理论上可达海森堡极限：

Δφ_Heis = 1 / N̄

然而，福克态制备困难，尤其是高 \(n\) 值，且对光子损耗极为敏感。实际中常以参量下转换产生的孪生光束近似。

NOON态：海森堡极限的典型代表

NOON态定义为两模叠加态：

|NOON⟩ = (|N,0⟩ + |0,N⟩) / √2

表示 \(N\) 个光子全部处于模式 A 或全部处于模式 B 的等权叠加。在干涉仪中，两模累积相位差 \(\phi\) 后演化为：

|ψ(φ)⟩ = (|N,0⟩ + e^{iNφ}|0,N⟩) / √2

相位测量精度为 \(\Delta\phi = 1/N\)，即海森堡极限。NOON态的相位灵敏度随 \(N\) 线性提升，但制备效率随 \(N\) 指数下降，且对损耗极其敏感——丢失一个光子即完全退相干。因此，NOON态多用于原理验证和小型集成干涉仪，而非长基线探测。

双模压缩真空：孪生光束与联合探测

双模压缩真空态由双模压缩算符 \(\hat{S}_{AB}(\xi) = \exp(\xi^*\hat{a}\hat{b} - \xi\hat{a}^\dagger\hat{b}^\dagger)\) 作用于真空产生：

|TMSV⟩ = (1/cosh r) Σ (tanh r)ⁿ |n,n⟩

其特点是两模光子数完全关联：\(\Delta(n_a - n_b) = 0\)，而单模光子数服从热分布。在干涉中，双模压缩真空注入干涉仪两输入端口，通过符合计数测量相位，灵敏度可逼近海森堡极限。与NOON态相比，双模压缩真空对损耗的鲁棒性更好，因为光子丢失后仍保留部分关联。其相位估计精度在理想情况下为：

Δφ_TMSV = 1 / √(N̄(N̄+2))

当 \(N̄ \gg 1\) 时趋近 \(1/N̄\)。双模压缩真空是连续变量量子计量中最具实用前景的资源之一。

工程选择与参数权衡

在实际干涉测量系统中，量子态的选择需综合考虑制备难度、损耗容忍度、探测方案和成本。下表给出典型场景的推荐策略（示例参数为合理假设，非实测结果）：

总结而言，相干态提供经典基准，压缩态以最小工程代价突破散粒噪声，福克态和NOON态代表海森堡极限的理论方向但受损耗制约，双模压缩真空则在精度与鲁棒性之间取得较好平衡。理解各态的数学描述与精度标度，是设计量子增强干涉仪的第一步。