3. 标定与漂移补偿的数学基础

标定与漂移补偿之所以需要一套统一的数学语言，是因为传感器输出的“读数”与“真值”之间往往不是简单的一一对应：它可能带有零点偏置、比例误差、交叉耦合、非线性弯曲，还会随时间、温度、磁场或器件老化缓慢漂移。若只靠查表或人工修正，很难在动态条件下保持精度。本节把后续章节反复用到的数学工具串成一条主线：用什么模型描述传感器、如何从数据中估计参数、如何在噪声与漂移中持续修正状态。

一、线性模型：标定最常用的起点

对多数磁强计、加速度计、陀螺仪和温度传感器，在小范围工作区内可先用线性模型近似。以三轴磁强计为例，理想情况下测量向量 y 与真实磁场 x 的关系可写成：

y = S · x + b + ε

其中 S 为 3×3 灵敏度与交叉耦合矩阵，b 为三轴零偏向量，ε 为随机噪声。若忽略交叉耦合，S 退化为对角矩阵，每个轴独立标定：y_i = k_i·x_i + b_i。线性模型的优点是参数少、可解析求解、外推风险可控；缺点是当输入幅度大、温度跨度宽或器件本身非线性明显时，残差会呈现系统性弯曲。

二、非线性模型：当线性假设失效

非线性来源主要有三类：一是传感器传递函数本身弯曲，例如某些磁阻传感器在强场下饱和；二是多物理量耦合，例如温度同时影响零偏和灵敏度；三是坐标与安装误差，例如非正交轴系带来的角度相关误差。常见处理方式包括多项式模型、分段线性插值、样条函数，以及把温度作为显式变量的二元模型：

y = f(x, T) = a0 + a1·x + a2·x² + a3·T + a4·x·T

非线性模型参数更多，通常需要非线性最小二乘或迭代优化求解。实际工程中应遵循“能线性则线性、必要时再升维”的原则：先用线性模型拟合，检查残差是否随输入或温度呈现规律性趋势；若残差均值明显偏离零且呈曲线，再引入二次项或温度项。

三、状态空间表示：把漂移写成可估计的状态

状态空间模型把系统分为“状态如何演化”和“状态如何被观测”两部分：

x_k = F·x_{k-1} + B·u_k + w_k      （状态方程）
z_k = H·x_k + v_k                   （观测方程）

其中 x_k 是状态向量，z_k 是观测向量，F 为状态转移矩阵，H 为观测矩阵，w_k 与 v_k 分别为过程噪声和观测噪声。对漂移补偿而言，关键技巧是把“零偏”本身当作状态：例如令状态包含真实角速度与陀螺零偏 b，零偏按随机游走建模 b_k = b_k-1 + w_b。这样，滤波器在估计信号的同时也在估计漂移，实现“边用边补”。

四、最小二乘：从一批数据中求参数

最小二乘解决的是“给定输入输出数据对，找一组参数使预测误差平方和最小”。对线性模型 y = Aθ，其中 θ 为待估参数向量，A 为设计矩阵，其闭式解为：

θ̂ = (AᵀA)⁻¹ Aᵀ y

以单轴加速度计标定为例，把传感器置于多个已知倾角，记录输出 y_i 与理论加速度 x_i，构造 A 的每一行为 [x_i, 1]，则 θ = [k, b]^T。若数据点覆盖范围不足或存在强噪声，AᵀA 可能接近奇异，此时应增加激励幅度、扩展温度点，或改用带正则项的最小二乘（岭回归）。

五、卡尔曼滤波：在噪声中持续修正

卡尔曼滤波是最小二乘在动态系统中的递推形式。它分两步循环：

1. 预测：用状态方程把上一时刻估计推到当前时刻，同时传播协方差 P；
2. 更新：用当前观测 z_k 与预测观测的差（新息）修正状态，增益 K 由过程噪声 Q 与观测噪声 R 的比值决定。

对漂移补偿，Q 反映零偏随时间变化的剧烈程度，R 反映单次观测的可信度。若 Q 设得过小，滤波器会“固执”地相信旧零偏，漂移跟踪变慢；若 Q 过大，输出会跟随噪声抖动。工程上常用 Allan 方差或静态零偏序列先估计 Q 与 R 的量级，再在实验中微调。

六、系统辨识与参数估计：从“已知模型”到“发现模型”

最小二乘和卡尔曼滤波都假设模型结构已知，只估参数。系统辨识则更进一步：先根据阶跃响应、频率响应或相关分析确定模型阶次与形式，再估计参数。对量子传感系统，常见做法是：

• 给传感器施加已知阶跃输入（如磁场跳变），记录响应曲线；
• 用一阶或二阶惯性环节拟合上升时间与超调量，确定模型阶次；
• 再用最小二乘或极大似然估计时间常数、增益与延迟；
• 最后用未参与辨识的数据做交叉验证，检查残差是否白噪声。

七、一条可复用的标定计算示例

假设某三轴磁强计在 25 ℃ 下采集 12 组已知磁场数据，用线性最小二乘拟合得到单轴参数 k = 1.023、b = −0.015 mT。将传感器放入温箱，在 −10 ℃、25 ℃、60 ℃ 三点重复标定，发现 b 随温度近似线性变化：b(T) = −0.015 + 0.0004·(T − 25)。此时可把温度作为观测变量，构造二元线性模型重新求解，或直接把 b 作为卡尔曼滤波的状态，用温度作为控制输入 u_k 驱动其演化。两种做法都能把温漂从“不可控误差”转化为“可估计状态”。