3. 紧束缚模型与能带结构

紧束缚（Tight-Binding, TB）模型是凝聚态物理中把连续薛定谔方程离散化为格点问题的核心工具。它的基本假设是：电子在原子轨道附近被强束缚，只在最近邻（或次近邻）格点之间发生量子隧穿式跃迁。由此，哈密顿量不再需要求解微分方程，而变成一个格点上的矩阵问题，能带结构直接由晶格几何与跃迁参数决定。本节从布洛赫定理出发，依次给出方格、六角、三角格子的紧束缚哈密顿量，并说明能带与态密度（DOS）的计算方法。

布洛赫定理与动量空间哈密顿量

在周期晶格中，单电子波函数满足布洛赫定理：ψ_k(r) = e^ik·ru_k(r)，其中 u_k(r) 具有晶格周期性。把波函数按格点轨道展开：

|ψ_k⟩ = (1/√N) Σ_R e^{i k·R} |R⟩

代入紧束缚哈密顿量 H = Σ_R,R' t(R−R') |R⟩⟨R'|，得到动量空间矩阵元：

H(k) = Σ_δ t(δ) e^{i k·δ}

其中 δ 为格点间位移矢量，t(δ) 为跃迁积分。对单轨道、最近邻近似，t(δ) 只取最近邻值 −t（t>0 表示跃迁强度）。H(k) 的本征值即为能带 E(k)。这一步把无限大晶格问题压缩到第一布里渊区内的一个 N×N 矩阵（N 为每个原胞的轨道数），是后续所有计算的基础。

一维与二维方格格子

一维链：最近邻位移 δ = ±a，H(k) = −t(e^ika + e^−ika) = −2t cos(ka)。能带为余弦型，带宽 4t，在 k=0 处取极小 −2t，在 k=±π/a 处取极大 +2t。态密度可由 E = −2t cos(ka) 反解 k(E) 得到：

g(E) = (1/π) · 1/√(4t² − E²),  |E| < 2t

二维方格格子：最近邻位移 δ = (±a,0), (0,±a)，H(k) = −2t[cos(k_xa) + cos(k_ya)]。能带在 Γ 点取 −4t，在 (π/a, π/a) 取 +4t。等能面在低能端近似圆形，高能端趋于方形，这是方格各向异性的直接体现。态密度在 E=0 附近出现范霍夫奇点（van Hove singularity），来源于鞍点 (π/a, 0) 处的临界点。

六角格子（蜂窝晶格）

六角格子每个原胞含两个子晶格 A、B，是石墨烯的晶格原型。取最近邻跃迁 −t，位移矢量 δ₁ = a(1,0)，δ₂ = a(−1/2, √3/2)，δ₃ = a(−1/2, −√3/2)。哈密顿量为 2×2 矩阵：

H(k) = [ 0        f(k)   ]
       [ f*(k)    0      ]

f(k) = −t (e^{i k·δ1} + e^{i k·δ2} + e^{i k·δ3})

本征值 E_±(k) = ±|f(k)|。在布里渊区角点 K、K' 处 f(k)=0，能带线性交叉形成狄拉克锥，E ≈ ±v_F|q|，v_F = 3ta/2。这是六角格子区别于方格的最重要特征：无能隙、线性色散、手性费米子。态密度在 E=0 附近线性趋于零，g(E) ∝ |E|/v_F²。

三角格子

三角格子每个原胞一个格点，最近邻有 6 个，位移为 ±a(1,0)、±a(1/2, √3/2)、±a(−1/2, √3/2)。哈密顿量：

H(k) = −2t [cos(k·a1) + cos(k·a2) + cos(k·(a1−a2))]

能带在 Γ 点取 −6t，在 K 点取 +3t，带宽 9t。三角格子的显著特点是：在 K 点附近能带呈线性，且由于 6 个最近邻的相位叠加，其费米面在特定填充下呈现嵌套（nesting）特征，容易驱动自旋密度波或超导不稳定性。态密度在带顶和带底附近有平方根型奇点，在中间区域相对平坦。

能带与态密度的数值计算流程

实际计算中，能带与态密度通常按以下步骤完成。以二维方格格子为例，取 t=1 eV、a=1，在布里渊区高对称路径 Γ→X→M→Γ 上均匀取 200 个 k 点，对每个 k 计算 H(k) 的本征值，即可得到能带图。态密度则采用高斯展宽法：

g(E) = (1/N_k) Σ_{k,n} (1/√(2πσ²)) exp[−(E − E_n(k))²/(2σ²)]

其中 σ 取 0.05 eV 左右，N_k 取 100×100 网格。若 σ 过大，范霍夫奇点会被抹平；σ 过小则曲线出现锯齿噪声。判断计算结果是否合理，可检查三个特征：能带在 Γ 点的极值是否等于 −4t（方格）或 −6t（三角）；态密度积分是否等于每个原胞的轨道数；六角格子是否在 E=0 处出现线性趋零而非有限值。

从能带到物理判断

能带结构直接决定材料的导电类型与稳定性。方格格子半满时 E_F=0，费米面为菱形，态密度有限，呈金属性；六角格子半满时 E_F=0，态密度为零，呈半金属性；三角格子半满时 E_F=−3t，费米面为六边形，嵌套矢量 Q=(2π/3a, 0) 对应自旋密度波不稳定性。因此，紧束缚模型不仅是能带计算工具，更是判断关联电子系统基态倾向的出发点。掌握四种格子的 H(k) 形式与 DOS 特征，是后续引入相互作用项（Hubbard U、交换 J）进行量子多体模拟的必要前提。