3. 动态电路的表示模型
动态量子电路的本质特征是“电路结构随运行期经典信息而改变”。要编译和执行这类电路，第一步不是优化门序列，而是把“什么时候测、测完怎么分支、分支后哪些量子操作才合法”表达成机器可分析的形式。本节讨论三种互补的表示模型：时序图刻画时间轴上的事件顺序，控制流图刻画经典分支与循环的跳转结构，量子-经典混合依赖图刻画量子操作与经典计算之间的数据依赖。三者不是替代关系，而是同一动态电路在不同抽象层次上的投影。
一、时序图：把动态电路摊平到时间轴
时序图（Timing Diagram / Timeline Representation）以“时间片”为横轴，以量子比特和经典寄存器为纵轴，把每个操作标注在它实际发生的时刻上。与静态电路图不同，动态电路的时序图必须显式区分三类事件：量子门作用、测量发生、经典条件判定。测量事件是分界点——在它之前，后续门的位置是确定的；在它之后，后续门是否出现取决于测量结果。
形式化地，一个时序图可定义为五元组 T = (Q, C, E, τ, κ)。其中 Q 是量子比特集合，C 是经典寄存器集合，E 是事件集合，τ: E → ℝ⁺ 给出每个事件的逻辑时刻，κ: E → {gate, measure, classical, branch} 给出事件类型。对任意两个存在数据依赖的事件 e₁, e₂，必须满足 τ(e₁) < τ(e₂)，这条约束称为时序一致性条件。它保证了时序图不会把“先测量后使用结果”错误地排成“先使用后测量”。
时序图的优点是直观，适合人工审查和调试；缺点是当分支嵌套较深时，时间轴会迅速膨胀，且难以直接回答“从当前状态出发，下一步可能跳到哪”。这正是控制流图要解决的问题。
二、控制流图：经典分支与循环的结构化表达
控制流图（Control Flow Graph, CFG）把动态电路中的经典控制逻辑抽象为有向图 G = (V, E, v₀, F)。节点 v ∈ V 表示一个基本块（basic block），即一段不含内部分支的连续操作序列；有向边 (u, v) ∈ E 表示从块 u 执行完后可能转移到块 v；v₀ 是入口块，F ⊆ V 是终止块集合。每个分支节点带有一个谓词 p: C → {0,1}，它读取经典寄存器的当前值，决定走哪条出边。
以“测量后按结果施加修正门”为例：块 B₀ 执行 H(q0); measure(q0) → c0，随后进入分支节点 B₁，谓词为 c0 == 1。若为真，转移到块 B₂ 执行 X(q0)；若为假，转移到块 B₃ 直接结束。CFG 的价值在于：编译器可以在图上做可达性分析、死代码消除和循环展开判断，而不必关心每个块内部具体是哪些量子门。
需要强调的是，CFG 只描述经典控制流，它不表达量子态如何演化。一个块内部可能包含多个量子门，但 CFG 把它们视为原子操作。因此 CFG 必须与依赖图配合使用。
三、量子-经典混合依赖图：数据依赖的精确刻画
混合依赖图（Hybrid Dependency Graph, HDG）是三者中信息最丰富的模型。它把量子操作、经典操作、测量和条件分支统一为节点，用有向边表示数据依赖或控制依赖。形式化定义为 D = (N, E_d, E_c, λ)：N 是节点集合；E_d 是数据依赖边，表示一个节点的输出被另一个节点读取；E_c 是控制依赖边，表示一个节点的执行与否受另一个节点（通常是测量或经典比较）的结果支配；λ: N → Type 标注节点类型，取值包括 QGate、Measure、COp、Branch。
HDG 的关键约束是：若存在测量节点 m 到量子门节点 g 的控制依赖边，则 g 在 m 完成之前不得被调度。这条约束把“测量-反馈”延迟显式建模出来，是动态电路编译中判断能否并行、能否提前发射的重要依据。例如在表面码纠错中，多个测量结果需要先做经典异或运算，再决定是否施加 X 或 Z 修正，HDG 能清晰展示这条“测量→经典运算→条件门”的依赖链。
四、三种模型的协同使用
在实际编译流程中，三种模型通常按以下方式协同：前端解析动态电路源码后，先构建 HDG，因为 HDG 保留了最完整的依赖信息；随后从 HDG 中提取控制流，生成 CFG 用于分支分析和循环优化；最后在调度阶段，把 CFG 的每个基本块展开为时序图，用于确定门在时间轴上的具体位置和并行机会。反过来，时序图上的资源冲突（如两个门同时占用同一量子比特）会反馈到 HDG，触发依赖边的修正。
一个容易混淆的点是：CFG 的边是控制转移，HDG 的边是数据/控制依赖。前者回答“执行完这个块后可能去哪”，后者回答“这个操作必须等谁完成”。在动态电路中，一个测量节点可能同时是 CFG 中分支节点的前驱，也是 HDG 中条件门的数据源，但两条边的语义完全不同，编译优化时必须分别处理。
五、形式化定义的使用边界
上述三套形式化定义各有适用边界。时序图适合小规模、人工可读的场景，当分支深度超过 3 层时，时间轴会变得难以维护。CFG 适合控制逻辑复杂但量子操作相对规整的场景，例如带循环的变分算法；但它无法表达量子比特之间的纠缠依赖。HDG 表达能力最强，适合作为编译器的中间表示，但图规模较大，需要配合剪枝和分层策略使用。
选择哪种模型，取决于当前任务需要回答什么问题：需要看“什么时候发生”用时序图；需要看“可能跳到哪”用 CFG；需要看“谁依赖谁”用 HDG。三者共同构成了动态量子电路从源码到可执行调度的表示基础。