2. 量子计算基础回顾

参数化量子电路（Parameterized Quantum Circuit, PQC）并不是一套全新的物理体系，它仍然建立在量子比特、叠加、纠缠、量子门与测量这五个基本概念之上。区别在于：普通量子线路中的门参数通常是固定常数，而 PQC 把其中一部分旋转角度写成可训练变量 θ，于是“量子线路”同时变成了“可微函数”。理解这一层映射，是后续做变分算法、量子机器学习与量子优化的前提。

量子比特与叠加态：从确定态到可调幅态

经典比特只能处于 0 或 1。量子比特的状态写成狄拉克符号为 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩，其中 α、β 是复数振幅，满足 |α|² + |β|² = 1。测量时得到 |0⟩ 的概率是 |α|²，得到 |1⟩ 的概率是 |β|²。这个“概率由振幅模方决定”的规则，是后面所有测量统计的根据。

在参数化电路中，叠加态最直接的来源是旋转门。以绕 Y 轴的旋转为例：

RY(θ)|0⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + sin(θ/2)|1⟩

当 θ = 0 时得到 |0⟩，θ = π 时得到 |1⟩，θ = π/2 时得到等幅叠加 (|0⟩+|1⟩)/√2。也就是说，θ 直接控制振幅的分配比例。这正是 PQC 可训练性的物理来源：调整 θ，就是在连续地改变测量结果的概率分布。若把 θ 看作优化变量，梯度 ∂p(1)/∂θ 不为零，优化器才有方向可走。

纠缠：让参数不再各自独立

单比特旋转只能产生乘积态，各比特之间互不关联。纠缠门（典型是 CNOT、CZ）把两个比特关联起来，使整体状态无法写成各自状态的直积。以 Bell 态为例：

H|0⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2
CNOT[(|0⟩+|1⟩)/√2 ⊗ |0⟩] = (|00⟩+|11⟩)/√2

测量第一个比特若得 0，第二个必为 0；若得 1，第二个必为 1。这种关联不是经典相关性，而是量子纠缠。在参数化电路中，纠缠层的意义在于：它把某个 θ 的影响扩散到其他比特的测量结果上。没有纠缠，整个线路等价于若干独立单比特旋转，表达能力受限；加入纠缠后，参数之间产生耦合，才能拟合更复杂的函数。常见的硬件高效拟设（Hardware Efficient Ansatz）就是“单比特旋转层 + 纠缠层”交替堆叠。

量子门：固定门与参数门的区别

量子门是作用在量子态上的酉变换。按是否含可训练参数，可分成两类：

• 固定门：H、X、Y、Z、CNOT、CZ、SWAP 等，作用确定，不参与训练。
• 参数门：RX(θ)、RY(θ)、RZ(θ)、相位门 P(φ) 等，角度由优化器更新。

需要注意门的顺序不可交换。同一组旋转门，先 RY 后 RZ 与先 RZ 后 RY 得到的态一般不同，因此线路的“拓扑顺序”本身也是设计变量。此外，RZ 只改变相位、不改变 |0⟩/|1⟩ 的测量概率，但它会影响后续干涉结果，所以在含纠缠的线路中依然关键。

测量：把量子态变成可优化的标量

测量是量子线路与经典优化器之间的接口。PQC 通常需要反复运行（shots 次）来估计期望值。以 Pauli-Z 期望值为例：

⟨Z⟩ = p(0) - p(1)
估计值 = (n0 - n1) / shots

若 shots = 1000，测得 n0 = 620、n1 = 380，则 ⟨Z⟩ ≈ 0.24。这个带统计噪声的标量就是损失函数的一部分，优化器据此更新 θ。测量基也影响结果：要测 X 期望值，需在测量前加 H 门把 X 基转到 Z 基；要测 Y，则加 S† 后再加 H。这是参数化电路里非常容易出错的一步。

这些概念在参数化电路中的具体体现

把上述概念串起来，一个最小可训练线路可以这样组织：初态 |0⟩⊗|0⟩，先对每个比特施加 RY(θ)，再插入 CNOT 制造纠缠，然后施加 RZ(θ) 调整相位，最后在 Z 基测量并统计期望值。θ = (θ₀, θ₁, θ₂, θ₃) 就是待优化参数。整个数据流是：参数 → 酉变换 → 量子态 → 测量采样 → 期望值 → 损失 → 梯度 → 更新参数，形成闭环。

这里有一个实践要点：测量带来的采样噪声会让损失函数有波动。若 shots 太少，梯度估计方差大，优化可能震荡；若 shots 太多，单次迭代耗时上升。常见折中是先用较少 shots 粗调，再逐步增加 shots 精调。另外，参数初始化也很关键：若所有 θ 都初始化为 0，某些旋转门梯度可能为零，导致参数无法更新，因此通常采用小范围随机初始化。