2. 量子计算与概率生成基础

生成式建模的核心任务，是学习一个数据分布 p(x)，并能够从中采样出新的样本。量子计算之所以与生成式建模天然契合，是因为量子态本身就是一种“概率幅的叠加体”：它不直接给出概率，而是先给出复振幅，再由测量把振幅映射为经典概率。理解这条从量子态到经典样本的链路，是后续学习量子生成模型（如量子电路 Born 机、量子 GAN、量子玻尔兹曼机）的数学前提。

一、量子比特：概率分布的“振幅载体”

经典比特只能处于 0 或 1。量子比特（qubit）的状态写作

|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩，其中 α, β ∈ ℂ，且 |α|² + |β|² = 1。

这里的关键区别在于：α 和 β 是概率幅，不是概率。测量得到 0 的概率是 |α|²，得到 1 的概率是 |β|²。振幅可以取负值甚至复数，这意味着不同计算路径之间可以发生干涉——相消或相长。生成式建模中，这种干涉能力正是量子模型可能比经典模型更紧凑地表达某些分布的原因。

对 n 个量子比特，基态共有 2ⁿ 个，一般态为

|ψ⟩ = Σ_x∈{0,1}ⁿ α_x |x⟩，Σ_x |α_x|² = 1。

把 α_x 看作一张长度为 2ⁿ 的复值表，测量就是按 |α_x|² 采样出比特串 x。这正是“量子态即未归一化概率模型”的直观图像：量子电路扮演可学习的振幅函数，测量扮演采样器。

二、叠加与纠缠：分布的相关结构

叠加是单个量子比特层面的现象，例如 Hadamard 门作用后

H|0⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2，

测量得到 0 或 1 各占 50%。纠缠则是多比特之间的非经典关联。以 Bell 态为例：

|Φ⁺⟩ = (|00⟩ + |11⟩)/√2。

单独测量第一个比特，得到 0 或 1 各 50%；但一旦第一个比特测得 0，第二个比特必然为 0。这种关联无法写成两个单比特态的直积，即 |Φ⁺⟩ ≠ |ψ₁⟩⊗|ψ₂⟩。在生成式建模语言里，纠缠就是模型内部的高阶相关性：它让联合分布不能简单分解为边缘分布的乘积。量子生成模型正是利用纠缠层来捕捉数据特征之间的复杂依赖。

三、测量、密度矩阵与量子信道

纯态 |ψ⟩ 的密度矩阵定义为 ρ = |ψ⟩⟨ψ|。当系统与外界存在噪声或我们只掌握部分信息时，状态变为混合态

ρ = Σ_i p_i |ψ_i⟩⟨ψ_i|，p_i ≥ 0，Σ p_i = 1，且 Tr(ρ) = 1。

密度矩阵是比态矢量更一般的描述：对角元给出各基态概率，非对角元（相干项）刻画干涉能力。测量一个可观测量 M 的期望为 ⟨M⟩ = Tr(ρM)。

量子信道是密度矩阵上的完全正定保迹映射（CPTP），写作

ρ′ = Σ_k K_k ρ K_k†，Σ_k K_k†K_k = I。

K_k 称为 Kraus 算子。信道可以表示噪声（退相干、去极化），也可以表示我们主动施加的量子操作。从生成式建模角度看，参数化量子电路就是一个可学习的信道：可调门参数 θ 决定 K_k(θ)，从而决定输出分布 p_θ(x) = Tr(ρ_θ |x⟩⟨x|)。

四、从量子态到生成式建模的数学联系

把上述对象翻译成生成式建模的语言，可以得到一张清晰的对应表：

一个具体的教学示例：设 2 比特电路先对每个比特施加 R_y(θ) 旋转，再用 CNOT 纠缠。若 θ₁ = π/4、θ₂ = π/3，则测量前态为

|ψ⟩ = cos(π/8)cos(π/6)|00⟩ + cos(π/8)sin(π/6)|01⟩
     + sin(π/8)cos(π/6)|10⟩ + sin(π/8)sin(π/6)|11⟩

此时四个基态的概率分别为 cos²(π/8)cos²(π/6) ≈ 0.647、cos²(π/8)sin²(π/6) ≈ 0.216、sin²(π/8)cos²(π/6) ≈ 0.111、sin²(π/8)sin²(π/6) ≈ 0.037。若加入 CNOT，则 |01⟩ 与 |10⟩ 的振幅会被重新组合，产生纠缠关联。训练时，我们通过调整 θ 使测量分布逼近目标数据分布，常用目标函数是最大似然或 KL 散度：

L(θ) = −Σ_x∈D log p_θ(x)，p_θ(x) = |⟨x|U(θ)|0⟩|²。

梯度可通过参数移位规则（parameter-shift rule）计算：对形如 e^−iθG/2 的门，∂_θ⟨O⟩ = [⟨O⟩_θ+π/2 − ⟨O⟩_θ−π/2]/2。这使得量子生成模型可以像经典神经网络一样做梯度下降。