2. 量子计算基础速览
量子核方法的“量子”二字并非装饰。它真正改变的是特征映射的执行方式：经典核方法把样本 x 显式或隐式地映射到高维特征空间，而量子核方法把 x 编码进一个 n 量子比特的量子态 |φ(x)⟩，再通过量子线路计算两个量子态的内积 |⟨φ(x)|φ(x')⟩|²，这个内积就是量子核 K(x, x')。要理解这条链路，必须先掌握量子比特、叠加、纠缠、量子门、测量与线路模型这六个基本概念，以及它们各自在特征映射中扮演的角色。
量子比特：从比特到复振幅
经典比特只能取 0 或 1，量子比特（qubit）的状态则写成两个复振幅的线性组合：
|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩, α, β ∈ ℂ, |α|² + |β|² = 1其中 |0⟩ 和 |1⟩ 是计算基，|α|² 与 |β|² 分别是测量得到 0 和 1 的概率。注意振幅是复数，携带相位信息，而相位在量子核中至关重要——两个量子态的内积不仅取决于概率分布，还取决于相对相位。一个 n 量子比特系统的状态空间维度是 2ⁿ，这正是量子特征映射能高效触及高维空间的根源：n 个量子比特的态天然生活在 2ⁿ 维复向量空间中。
叠加与纠缠：特征空间的两种“量子性”
叠加指一个量子态同时处于多个基态的线性组合。例如对单个量子比特施加 Hadamard 门 H，得到 H|0⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2，测量时以各 50% 概率得到 0 或 1。在特征映射中，叠加让一个样本同时“占据”多个基态分量，相当于把特征向量展开到多个维度上。
纠缠则描述多个量子比特之间无法分解为各自独立状态的关联。以两量子比特 Bell 态为例：
|Φ⁺⟩ = (|00⟩ + |11⟩)/√2它不能写成 |a⟩⊗|b⟩ 的形式。纠缠在量子核中意味着特征分量之间存在经典特征映射难以表达的交叉项，例如 x₁x₂、x₁²x₂ 这类高阶组合。ZZFeatureMap 正是通过 ZZ 纠缠门把两两特征乘积的相位写入量子态，使量子核天然包含二阶甚至更高阶的特征交互。
量子门：对振幅与相位的精确操作
量子门是作用在量子态上的酉变换 U，满足 U†U = I，因此可逆且保范数。常见单比特门包括：
- H 门：制造叠加，
H|0⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2。 - X 门：比特翻转，类似经典 NOT。
- Rz(θ) 门：只改变相位，
Rz(θ)|1⟩ = e^{iθ}|1⟩，是编码特征值的主力。 - Rx、Ry 门：绕 Bloch 球相应轴旋转，可把特征值编码为角度。
两比特门以 CNOT 和 ZZ 为代表。CNOT 在控制比特为 1 时翻转目标比特，用于制造纠缠；ZZ(θ) 等价于 CNOT 与 Rz(θ) 的组合，把两比特的联合相位旋转 θ。在特征映射中，单比特旋转门负责把每个特征分量 xᵢ 编码为角度，纠缠门负责把特征之间的乘积关系写入相位。
测量：把量子信息转成可读结果
测量是量子线路的“读出”步骤。对态 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ 在计算基下测量，得到 0 的概率为 |α|²，得到 1 的概率为 |β|²，测量后态坍缩到对应基态。量子核估计通常不直接测量单个量子态，而是通过测量辅助量子比特或执行 SWAP 测试，把内积 |⟨φ(x)|φ(x')⟩|² 转化为某个可观测概率。由于单次测量只能给出一个采样结果，实际量子核估计需要重复制备与测量多次，用频率逼近概率，这也带来统计误差与采样成本。
量子线路模型：把门排成可执行序列
量子线路模型是最主流的量子计算模型：从左到右表示时间推进，每条横线代表一个量子比特，门按列作用在相应比特上，最后统一测量。一个用于量子核的特征映射线路通常包含三段：
- 初始化：所有量子比特置为
|0⟩。 - 特征编码：对每个特征
xᵢ施加H与Rz(2xᵢ)，再对相邻比特施加ZZ(2(π−xᵢ)(π−xⱼ))形式的纠缠门，重复若干层。 - 核估计：对
|φ(x)⟩与|φ(x')⟩执行 SWAP 测试或 Hadamard 测试，测量辅助比特得到核值。
下面这张图把上述六个概念串成一条从经典样本到量子核值的信号链，并标出每个环节对应的量子对象与关键操作。
这些要素如何支撑核方法所需的特征映射
把六个概念放回量子核方法的语境，可以得到一条清晰的因果链。量子比特提供 2ⁿ 维复特征空间；叠加让单个样本同时占据多个基态分量；纠缠引入特征之间的乘积项与高阶交互；量子门负责把经典特征值精确编码为振幅与相位；测量把不可直接读取的量子内积转化为可统计的概率；线路模型则把上述操作组织成可重复执行的序列。以常见的 ZZFeatureMap 为例，若取 n=4、重复层数 reps=2，线路规模约为 4 个量子比特、每层 4 个 H 门、4 个 Rz 门和 6 个 ZZ 门，两层共约 28 个门。这个规模在模拟器上可以精确计算核矩阵，在真实硬件上则需要考虑门保真度与采样次数。