4. 参数化量子线路作为可训练模型

参数化量子线路（Parameterized Quantum Circuit, PQC）是混合量子机器学习的核心可训练组件。它本质上是一个含可调参数的量子门序列，通过经典优化器反复调整这些参数，使线路输出逼近目标函数。要把它当作一个真正的“模型”来用，需要同时确定五件事：数据怎么编码进量子态、哪些参数可训练、测量什么算符、测量结果如何映射为预测值、以及用什么损失函数衡量好坏。这五者共同决定了模型的表达能力、训练难度和最终性能。

一、数据编码：把经典特征写进量子态

数据编码（Data Encoding / Embedding）负责将经典向量 x 映射为量子态 |φ(x)⟩。常见方式有三类：

• 角度编码：用旋转门 Rx(x_i)、Ry(x_i)、Rz(x_i) 把每个特征作为旋转角。实现简单，但特征需归一化到 [0, 2π] 或 [-π, π]。
• 振幅编码：把归一化后的特征向量直接编码为量子态的振幅，n 个量子比特可表示 2^n 维向量，信息密度高，但制备线路深、对硬件不友好。
• 数据重上传：在变分层之间反复插入编码门，使输入与可训练参数交替作用，显著提升对复杂函数的拟合能力，是当前混合模型的主流做法。

编码方式的选择直接影响模型上限。角度编码适合近期含噪设备，振幅编码适合态制备资源充足的场景，重上传则常用于需要强表达力的分类与回归任务。

二、变分参数与线路结构

变分参数 θ 是真正被优化器更新的量。典型结构是“编码层 + 变分层”交替堆叠。变分层通常由单比特旋转门和纠缠门（如 CNOT、CZ）组成，常见模板包括：

• 硬件高效 ansatz：按设备拓扑排列 Ry、Rz 与 CNOT，线路浅、易部署，但缺乏物理可解释性。
• UCC ansatz：源自幺正耦合簇，参数对应激发振幅，适合量子化学与物理问题。
• 强纠缠 ansatz：每层全连接纠缠，表达力强但参数多、易陷入贫瘠高原。

参数数量、层数与纠缠度需要权衡：层数太少欠拟合，层数太多则梯度消失、训练成本上升。实践中常从 2～4 层开始，逐步增加并观察验证集表现。

三、测量算符与输出映射

量子线路输出的是量子态，必须通过测量算符 O 得到可用的经典数值。最常用的是 Pauli-Z 算符：对单个量子比特测量 ⟨Z⟩，其期望值落在 [-1, 1]。多比特时可测量 Z_0 Z_1 等关联算符，捕捉比特间相关性。

测量得到的期望值需要经过输出映射才能变成预测值。常见做法：

• 分类任务：用 ⟨Z⟩ 的符号或阈值判断类别，或经 sigmoid 映射为概率。
• 回归任务：直接使用 ⟨Z⟩，或线性缩放 y = a⟨Z⟩ + b。
• 多分类：测量多个比特，取各比特期望值组成向量，再经 softmax。

输出映射是连接量子测量与经典损失的关键桥梁，必须与任务类型匹配，否则再好的线路也无法给出正确预测。

四、损失函数构造

损失函数把预测值与真实标签的差距量化，是优化器唯一的“指南针”。混合模型中常用：

• 均方误差（MSE）：L = (1/N)Σ(y_pred - y_true)²，适合回归。
• 交叉熵：适合分类，配合 softmax 或 sigmoid 输出。
• 量子态保真度损失：L = 1 - |⟨ψ_target|ψ(θ)⟩|²，适合态制备与量子化学任务。

损失函数必须对 θ 可微，才能用参数移位规则（Parameter-Shift Rule）计算梯度：∂L/∂θ_i = [L(θ_i + π/2) - L(θ_i - π/2)] / 2。这是混合训练流水线中量子侧梯度的标准来源。

五、一个可运行的最小示例

下面给出一个二分类任务的最小 PQC 配置，用于说明五要素如何协同。假设输入为二维特征 x = (x₀, x₁)，使用 2 个量子比特。

# 数据编码：角度编码 + 重上传
for layer in range(L):
    for i in range(2):
        Rx(x[i])          # 编码门
        Ry(θ[layer][i])   # 变分门
    CNOT(0, 1)            # 纠缠

# 测量：测量第一个比特的 Z 期望值
z = measure_Z(qubit=0)    # z ∈ [-1, 1]

# 输出映射：sigmoid 转概率
p = 1 / (1 + exp(-z))

# 损失函数：二元交叉熵
L = -[y * log(p) + (1 - y) * log(1 - p)]

训练时，经典优化器对 θ 求梯度并更新，编码参数 x 保持不变。每轮迭代需要执行两次线路（θ ± π/2）来估计每个参数的梯度。若使用 4 个变分参数、2 层结构，则每轮需 8 次线路执行。实际部署时还需考虑测量采样次数（shots），通常取 1000～10000 次以降低期望值估计方差。

总结来看，PQC 作为可训练模型，其能力边界由编码方式、变分结构、测量算符、输出映射和损失函数共同决定。五者中任何一环设计不当，都会让训练停滞或泛化变差。理解它们之间的数据流关系，是构建混合量子机器学习流水线的基础。