3. 经典分类任务回顾

变分量子分类器（VQC）并不是凭空出现的新范式，它要解决的仍然是经典机器学习中最核心的一类问题——分类。理解经典分类任务的基本框架，是判断 VQC 设计是否合理、训练是否有效、结果是否可信的前提。本节把监督学习的形式化描述、特征空间与决策边界的几何含义、损失函数的优化目标，以及过拟合与泛化的评价标准串联起来，为后续量子线路的编码方式、测量算符设计和参数优化提供参照系。

一、监督学习的形式化描述

监督学习的输入是一个带标签的数据集 D = {(x_i, y_i)}_{i=1}^{N}，其中 x_i ∈ R^d 是第 i 个样本的特征向量，y_i 是对应标签。二分类任务中通常取 y_i ∈ {0, 1} 或 {-1, +1}；多分类任务中 y_i 取 {1, 2, ..., K}。学习的目标是找到一个映射 f: R^d → Y，使得对未见过的样本 x，预测 f(x) 尽可能接近真实标签。

这里有一个关键区分：训练集上的表现叫经验风险，全体数据分布上的表现叫期望风险。我们真正关心的是后者，但只能通过前者去估计。所有分类器设计的基本目标，都可以概括为：在假设空间（模型能表达的函数集合）中，寻找一个既能拟合训练数据、又能在新样本上保持稳定的 f。VQC 的假设空间由量子线路的编码方式、可调参数和测量方式共同决定，这一点与经典模型由网络结构或核函数决定假设空间是平行的。

二、特征空间与决策边界

特征空间是把每个样本看作 d 维空间中一个点的几何视角。分类器的本质，是在这个空间中划分出若干区域，每个区域对应一个类别。划分区域的边界就是决策边界。线性分类器（如逻辑回归、线性 SVM）的决策边界是超平面 w·x + b = 0；非线性分类器（如核 SVM、多层感知机）的决策边界可以是曲面或更复杂的流形。

决策边界的形状由模型假设空间决定。如果两类数据在原始特征空间中线性不可分，可以通过特征映射 φ(x) 把样本送到更高维空间，在那里寻找线性分界。核方法正是利用这一点：不显式计算 φ(x)，而是通过核函数 K(x_i, x_j) = φ(x_i)·φ(x_j) 隐式完成高维映射。VQC 中的量子特征映射 x → |φ(x)⟩ 与此高度类似：把经典数据编码到量子态所在的希尔伯特空间，再在该空间中用测量算符构造分界。理解经典特征映射的动机，有助于理解量子编码层为什么常采用角度编码、振幅编码或 IQP 型编码。

三、损失函数：把分类目标变成可优化问题

决策边界的好坏需要一个可量化的标准，这就是损失函数。二分类中最常用的是交叉熵损失（对数损失）。设模型输出正类概率 p = σ(z)，其中 z = w·x + b，σ 为 sigmoid 函数，则单个样本的损失为：

L_i = -[ y_i · log(p_i) + (1 - y_i) · log(1 - p_i) ]

当 y_i = 1 时，损失退化为 -log(p_i)：预测概率越接近 1，损失越小；预测越接近 0，损失急剧增大。这种“错得越离谱、惩罚越重”的性质，使交叉熵比平方损失更适合分类任务。另一种常见形式是合页损失（hinge loss），用于 SVM：L_i = max(0, 1 - y_i · z_i)，其中 y_i ∈ {-1, +1}。它只惩罚那些落在间隔内部的样本，对已经正确且远离边界的样本不再施加梯度。

训练过程就是最小化平均损失：min_w (1/N) Σ L_i。对逻辑回归，可以用梯度下降更新 w ← w - η · ∂L/∂w，其中 ∂L/∂w = (1/N) Σ (p_i - y_i) · x_i。这个梯度形式非常直观：每个样本对参数更新的贡献，等于“预测误差 × 输入特征”。VQC 的参数优化（如参数移位规则）在结构上与此类似，只是梯度由量子线路的测量期望值给出。

四、过拟合与泛化：评价分类器的真正标准

训练损失低不等于模型好。如果模型容量过大而数据有限，它可能把训练集中的噪声也“记住”，导致训练误差很低但测试误差很高，这就是过拟合。相反，如果模型过于简单，训练误差本身就降不下来，称为欠拟合。泛化能力指的是模型在未见数据上的表现，通常用测试集或交叉验证来估计。

判断过拟合的实用信号包括：训练损失持续下降而验证损失开始上升；训练准确率与验证准确率差距不断扩大；模型对训练样本的微小扰动非常敏感。缓解手段有正则化（L2 惩罚 λ‖w‖²）、早停（验证损失不再下降时停止训练）、数据增强、降低模型复杂度、Dropout 等。对 VQC 而言，还要额外关注量子线路的贫瘠高原问题：参数梯度随量子比特数增加而指数衰减，这会让训练看似“停滞”，容易被误判为过拟合或欠拟合，需要结合梯度范数、参数更新幅度和验证集表现综合判断。

五、分类器设计的基本目标与评价标准

综合以上，一个分类器的设计目标可以归纳为三条：表达能力足够（假设空间能覆盖真实决策边界）、优化可行（损失函数可微或可用无梯度方法有效搜索）、泛化可控（在偏差与方差之间取得平衡）。评价标准则包括：准确率、精确率、召回率、F1 值、ROC-AUC、混淆矩阵，以及训练/验证损失曲线。对类别不平衡数据，准确率会失真，应优先看 F1 或 AUC；对代价敏感场景，应结合混淆矩阵确定阈值。