2. 单量子比特门基础

单量子比特门是量子电路的最小操作单元。一个量子比特的纯态可以写成 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩，其中 α、β 为复数且满足 |α|² + |β|² = 1。任何单比特门都对应一个 2×2 酉矩阵 U，作用方式为 |ψ'⟩ = U|ψ⟩。理解这些门的定义、矩阵形式与几何意义，是后续搭建通用量子电路的基础。

一、泡利矩阵 X、Y、Z：翻转与相位翻转

泡利矩阵是最基本的三个单比特门，它们既是可观测量算符，也是量子门：

X = [[0, 1],   Y = [[0, -i],   Z = [[1,  0],
     [1, 0]]        [i,  0]]        [0, -1]]

从作用效果看：X|0⟩ = |1⟩，X|1⟩ = |0⟩，因此 X 门就是量子非门（比特翻转）。Z|0⟩ = |0⟩，Z|1⟩ = -|1⟩，它不改变测量概率，只给 |1⟩ 叠加一个 -1 相位，称为相位翻转。Y = iXZ，同时包含比特翻转与相位翻转，且 Y|0⟩ = i|1⟩，Y|1⟩ = -i|0⟩。

几何上，把单比特态映射到布洛赫球面，X、Y、Z 分别对应绕 x、y、z 轴旋转 180°。布洛赫球上任意纯态可写为 |ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^{iφ}sin(θ/2)|1⟩，X 门把点 (x, y, z) 变为 (x, -y, -z)，Z 门变为 (-x, -y, z)，Y 门变为 (-x, y, -z)。三者都是自逆门，即 X² = Y² = Z² = I。

二、Hadamard 门：制造叠加态

Hadamard 门（H 门）定义为：

H = (1/√2) [[1,  1],
            [1, -1]]

它把计算基态变成等幅叠加态：H|0⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2 = |+⟩，H|1⟩ = (|0⟩ - |1⟩)/√2 = |-⟩。反过来，H|+⟩ = |0⟩，H|-⟩ = |1⟩，所以 H 门也是自逆的。几何上，H 门对应绕布洛赫球轴 (x+z)/√2 旋转 180°，把 z 轴上的 |0⟩、|1⟩ 转到 x 轴上的 |+⟩、|-⟩。H 门是量子并行性和干涉实验的核心。

三、相位门 S 与 T：绕 z 轴的小角度旋转

S 门和 T 门都是对角相位门：

S = [[1, 0],    T = [[1, 0],
     [0, i]]         [0, e^{iπ/4}]]

它们只改变 |1⟩ 的相位：S|1⟩ = i|1⟩，T|1⟩ = e^{iπ/4}|1⟩。几何上，S 是绕 z 轴旋转 90°，T 是绕 z 轴旋转 45°。注意 S = T²，T = √S，而 Z = S² = T⁴。T 门在通用量子计算中地位特殊：仅靠 Clifford 门（H、S、CNOT）无法实现通用量子计算，加入 T 门后才能逼近任意单比特酉操作，因此 T 门常被称为非 Clifford 门或魔法门。

四、旋转门 Rx、Ry、Rz：连续参数化

旋转门把离散门推广为连续角度参数：

Rx(θ) = [[cos(θ/2),   -i sin(θ/2)],
         [-i sin(θ/2),  cos(θ/2)]]

Ry(θ) = [[cos(θ/2), -sin(θ/2)],
         [sin(θ/2),  cos(θ/2)]]

Rz(θ) = [[e^{-iθ/2}, 0],
         [0, e^{iθ/2}]]

它们分别对应绕布洛赫球 x、y、z 轴旋转角度 θ。几个常用特例：Rx(π) = -iX，Ry(π) = -iY，Rz(π) = -iZ，与泡利门只差全局相位；Rz(π/2) = e^{-iπ/4}S，Rz(π/4) = e^{-iπ/8}T。全局相位不影响测量结果，因此这些门在物理上等价。

旋转门满足复合关系：绕同一轴连续旋转可相加，Rz(α)Rz(β) = Rz(α+β)；绕不同轴的旋转一般不交换，例如 Rx(π/2)Rz(π/2) ≠ Rz(π/2)Rx(π/2)。任意单比特酉门都可以分解为 U = e^{iα} Rz(β) Ry(γ) Rz(δ)，这就是 Z-Y-Z 分解，也是量子编译把任意单比特门转成硬件原生门序列的理论依据。

五、矩阵形式与几何意义的对应关系

把门的矩阵形式与布洛赫球旋转对应起来，可以形成统一理解。任意单比特酉门可写为 U = e^{iα} R_n(θ)，其中 R_n(θ) = cos(θ/2)I - i sin(θ/2)(n_x X + n_y Y + n_z Z)，n 是旋转轴单位向量。例如 H 门取 n = (1/√2, 0, 1/√2)，θ = π；S 门取 n = (0, 0, 1)，θ = π/2；T 门取 n = (0, 0, 1)，θ = π/4。这样，所有单比特门都统一为“绕某轴转某个角度”，矩阵只是这个几何操作在计算基下的坐标表示。

六、一个可执行的教学示例

下面用 Qiskit 构造并观察这些门对 |0⟩ 的作用。示例参数为默认模拟器，结果属于合理演示，不是实测数据。

from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.quantum_info import Statevector
import numpy as np

for name, gate in [("X", "x"), ("H", "h"), ("S", "s"), ("T", "t")]:
    qc = QuantumCircuit(1)
    getattr(qc, gate)(0)
    sv = Statevector(qc)
    print(name, np.round(sv.data, 4))

# 旋转门示例
qc = QuantumCircuit(1)
qc.rx(np.pi/2, 0)
print("Rx(pi/2)", np.round(Statevector(qc).data, 4))

预期输出中，X 得到 [0, 1]，H 得到 [0.7071, 0.7071]，S 得到 [1, 0]（因为 S 作用在 |0⟩ 上不变），T 同样得到 [1, 0]。要观察 S、T 的相位效果，应先把量子比特制备到 |1⟩ 或 |+⟩ 再作用。例如 qc.x(0); qc.s(0) 会得到 [0, i]，qc.x(0); qc.t(0) 会得到 [0, 0.7071+0.7071i]。判断结果是否正确，可以检查模长是否为 1、相对相位是否符合 e^{iθ} 的预期。

掌握这些门之后，就可以进一步讨论多比特门、受控门以及通用门集合的构造。单比特门的矩阵、旋转轴和角度，是阅读和设计任何量子电路时最基础的“词汇表”。