4. 量子比特与量子态

量子比特是量子信息的基本单元。与经典比特只能取 0 或 1 不同，一个量子比特的纯态可以写成两个基态的复系数叠加：

|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩，其中 α、β 为复数，且满足归一化条件 |α|² + |β|² = 1。

这里 |0⟩ 和 |1⟩ 是计算基，对应经典比特的 0 和 1。α 和 β 称为概率幅，它们本身不可直接观测，但 |α|² 和 |β|² 分别给出在计算基下测量得到 0 和 1 的概率。由于整体相位不可观测，单量子比特纯态实际只有两个实自由度，这正好对应布洛赫球面上的一个点。

布洛赫球表示

任意单量子比特纯态都可以参数化为：

|ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^{iφ} sin(θ/2)|1⟩，其中 0 ≤ θ ≤ π，0 ≤ φ < 2π。

定义布洛赫矢量 r = (sinθ cosφ, sinθ sinφ, cosθ)，则纯态对应布洛赫球面上长度为 1 的矢量。球北极对应 |0⟩，南极对应 |1⟩，赤道上的点对应等幅叠加态，例如 |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2 位于 x 轴正方向，|−⟩ = (|0⟩−|1⟩)/√2 位于 x 轴负方向，|+i⟩ = (|0⟩+i|1⟩)/√2 位于 y 轴正方向。需要特别说明的是，布洛赫球中的角度 θ 是极角，从 +z 轴量起，θ=0 为 |0⟩，θ=π 为 |1⟩；φ 是绕 z 轴的方位角，从 +x 轴逆时针量起。这一约定在后续旋转门和测量分析中必须保持一致。

纯态与混合态

纯态是指系统处于一个确定的量子态 |ψ⟩，其密度矩阵为 ρ = |ψ⟩⟨ψ|。纯态满足 ρ² = ρ，即密度矩阵是幂等的，且 Tr(ρ²) = 1。混合态则不能写成单一态矢量的外积，而是多个纯态按经典概率的凸组合：

ρ = Σ_i p_i |ψ_i⟩⟨ψ_i|，其中 p_i ≥ 0，Σ_i p_i = 1。

混合态的密度矩阵不再幂等，Tr(ρ²) < 1。在布洛赫球中，纯态位于球面，混合态位于球内，最大混合态 I/2 位于球心，对应完全随机的结果。例如，若一个量子比特以 50% 概率处于 |0⟩、50% 概率处于 |1⟩，其密度矩阵为 ρ = 0.5|0⟩⟨0| + 0.5|1⟩⟨1| = I/2，布洛赫矢量为零矢量。这与叠加态 |+⟩ 有本质区别：|+⟩ 是纯态，测量 x 方向自旋会得到确定结果；而 I/2 在任意方向测量都得到完全随机的结果。

密度矩阵及其性质

密度矩阵是描述量子态的统一工具，尤其适合处理混合态和子系统。一个合法的密度矩阵必须满足三条基本性质：

• 厄米性：ρ† = ρ，保证测量概率为实数。
• 半正定性：对任意矢量 |v⟩，有 ⟨v|ρ|v⟩ ≥ 0，保证所有测量概率非负。
• 迹为 1：Tr(ρ) = 1，保证概率总和为 1。

此外，纯态还额外满足 ρ² = ρ 和 Tr(ρ²) = 1；混合态满足 Tr(ρ²) < 1。对于单量子比特，密度矩阵可以展开为 ρ = (I + r·σ)/2，其中 r 是布洛赫矢量，σ = (σ_x, σ_y, σ_z) 是泡利矩阵。由此可得 r = ⟨σ⟩ = (⟨σ_x⟩, ⟨σ_y⟩, ⟨σ_z⟩)，即布洛赫矢量的三个分量正是三个方向泡利算符的期望值。这一关系把抽象的密度矩阵与可测量的期望值直接联系起来。

测量与期望值的计算示例

假设一个量子比特处于态 |ψ⟩ = (√3/2)|0⟩ + (1/2)|1⟩。先检查归一化：|√3/2|² + |1/2|² = 3/4 + 1/4 = 1，合法。计算布洛赫矢量：

α = √3/2 ≈ 0.8660，β = 1/2 = 0.5
⟨σ_z⟩ = |α|² − |β|² = 0.75 − 0.25 = 0.5
⟨σ_x⟩ = 2 Re(α* β) = 2 × (0.8660 × 0.5) = 0.8660
⟨σ_y⟩ = 2 Im(α* β) = 0（因为 α、β 均为实数）
r = (0.8660, 0, 0.5)，|r| = √(0.75 + 0.25) = 1，确认为纯态
θ = arccos(0.5) = 60°，φ = 0°

若在计算基下测量，得到 0 的概率为 0.75，得到 1 的概率为 0.25。若在 x 基下测量，即投影到 |+⟩ 和 |−⟩，则得到 |+⟩ 的概率为 |⟨+|ψ⟩|² = |(α+β)/√2|² = (0.8660+0.5)²/2 ≈ 0.9330，得到 |−⟩ 的概率约为 0.0670。这些结果与布洛赫矢量在 x 方向的分量一致：⟨σ_x⟩ = 0.8660 意味着 x 方向测量偏向 |+⟩。

密度矩阵的演化与约化

封闭量子系统中，密度矩阵按冯·诺依曼方程演化：dρ/dt = −(i/ħ)[H, ρ]，其中 H 是哈密顿量。对于量子门操作，密度矩阵的变换为 ρ' = UρU†，其中 U 是酉矩阵。例如，对单量子比特施加哈达玛门 H，有 H|0⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2，因此 ρ' = HρH†。若初始态为 |0⟩⟨0|，则 ρ' = |+⟩⟨+|，布洛赫矢量从 (0,0,1) 变为 (1,0,0)。

当系统与环境耦合或只关注复合系统的子系统时，需要对环境自由度求偏迹，得到约化密度矩阵。约化密度矩阵通常是混合态，即使整个复合系统处于纯态。例如，贝尔态 (|00⟩+|11⟩)/√2 是两量子比特纯态，但对第二个量子比特求偏迹后，第一个量子比特的约化密度矩阵为 I/2，即最大混合态。这说明量子纠缠会导致子系统看起来是混合的，而全局态仍然是纯态。

常见单量子比特态与布洛赫坐标对照

总结来说，单量子比特态可以用态矢量或密度矩阵描述；布洛赫球给出了直观的几何图像，球面为纯态、球内为混合态；密度矩阵通过厄米性、半正定性和迹为 1 三条性质统一描述纯态与混合态，并可通过泡利矩阵展开与布洛赫矢量建立定量联系。掌握这些工具，是后续理解量子门、测量、纠缠和量子算法的基础。