📚 课程目录第2章量子线路基础表示

2. 量子线路基础表示

量子线路是量子程序最直观的“电路级”表达：它把一段量子计算拆成对若干量子比特的连续操作，并在末尾通过测量把量子信息转成经典比特。要读懂、编写并在模拟器或硬件上执行量子线路，需要同时掌握四类表示：量子比特的状态约定、量子门的矩阵与作用、测量的语义与统计性，以及线路图与 OpenQASM 这类中间表示之间的对应关系。

量子比特：状态、基与约定

一个量子比特（qubit）的纯态可写成 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩，其中 α、β 为复数且满足 |α|² + |β|² = 1。计算基取 |0⟩ = [1, 0]ᵀ、|1⟩ = [0, 1]ᵀ。多比特系统的状态用张量积组合，例如两比特基态 |01⟩ = |0⟩ ⊗ |1⟩。约定上，线路图中从上到下（或从左到右）的线依次对应 q[0]、q[1]、q[2]……，这个顺序直接决定张量积的书写次序，也是后面读 OpenQASM 和矩阵时最容易出错的地方，必须先固定下来。

需要区分两类常见状态：一是基态 |0⟩、|1⟩，测量结果确定；二是叠加态，如 H|0⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2，测量时以各 1/2 的概率得到 0 或 1。量子比特不能像经典比特那样“读一眼再放回去”，测量会破坏叠加与纠缠，这是线路设计必须考虑的核心约束。

量子门：酉变换与常见门

量子门是对量子态施加的酉变换 U，满足 U†U = I，因此可逆且保范数。单比特门用 2×2 矩阵表示，作用在某个比特上时，通过张量积嵌入到整个系统。常用门包括：

X 门：[[0,1],[1,0]]，实现比特翻转，X|0⟩ = |1⟩。
H 门：1/√2·[[1,1],[1,-1]]，把 |0⟩ 变成等幅叠加态。
Z 门：[[1,0],[0,-1]]，给 |1⟩ 分量加相位 −1。
S 门：[[1,0],[0,i]]，给 |1⟩ 分量加相位 i。
Rx(θ)、Ry(θ)、Rz(θ)：绕对应轴旋转 θ 角，是变分线路中最常用的参数化门。
CNOT：两比特门，控制位为 1 时翻转目标位，矩阵为 4×4，是产生纠缠的基本元件。

以 CNOT 为例，作用在 |10⟩（控制 q[0]=1，目标 q[1]=0）上得到 |11⟩；作用在 (|00⟩+|11⟩)/√2 上保持不变，这正是纠缠态的特征。理解门的关键不是背矩阵，而是明确“作用在哪个比特、控制关系是什么、对基态和叠加态分别产生什么效果”。

测量：语义与统计性

线路图与 OpenQASM 的对应

线路图是给人看的图形表示：横线是量子比特，从左到右是时间顺序，方块是门，带箭头的连线表示控制关系，末尾的仪表符号表示测量。OpenQASM 是给工具链读的文本中间表示，二者描述的是同一条线路。下面给出一个产生纠缠并测量的最小示例：

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[2];
creg c[2];
h q[0];
cx q[0], q[1];
measure q[0] -> c[0];
measure q[1] -> c[1];

这段代码对应的线路是：q[0] 先加 H 门，再作为控制位与 q[1] 做 CNOT，最后两比特分别测量到 c[0]、c[1]。理想情况下，结果只出现 00 和 11，各约 50%，不会出现 01 或 10。读 OpenQASM 时要特别注意 qreg/creg 的声明顺序、门作用的比特顺序，以及 measure 的源与目标。

中间表示的作用与选择

OpenQASM 之所以重要，是因为它处在“人写的线路”和“机器执行的指令”之间：上层可由 Qiskit、Cirq 等框架生成，下层可被模拟器解析，也可被编译成硬件的脉冲或门序列。除 OpenQASM 外，常见中间表示还包括 QIR、Quil、以及各平台自己的 IR。它们共同承担三件事：明确比特与经典寄存器的映射、明确门的种类与参数、明确测量与结果写回关系。选择哪种表示，取决于目标后端支持的门集与编译流程；但无论哪种，读线路时都应回到“比特顺序、门作用对象、控制关系、测量映射”这四个基本点上核对。

读一条线路时，建议按“声明 → 门序列 → 测量映射”三步走：先看 qreg/creg 的位数与顺序，再逐列确认每个门作用在哪些比特上，最后核对 measure 的源和目标是否与线路图一致。

把上述内容串起来，一条量子线路的完整表示就是：用比特和基约定描述状态空间，用酉门描述演化，用测量描述经典输出，再用线路图或 OpenQASM 把这三者固定下来。后续在模拟器与硬件上执行时，差异主要出现在噪声、连通性约束和 shots 统计上，而线路本身的语义由这套基础表示决定。