2. 量子电路的形式化表示

在量子电路验证中，我们面对的第一个问题不是“电路对不对”，而是“电路用什么数学对象描述”。只有把电路映射为可计算、可比较、可推理的形式对象，后续的等价性检查、错误定位和正确性证明才有落脚点。本节围绕四种主流形式化表示展开：酉矩阵、张量网络、决策图与线性映射，并说明量子比特、门、测量、初始态与经典控制如何被结构化地编码进去。

一、酉矩阵：最直接但最昂贵的表示

一个作用在 n 个量子比特上的纯量子电路，若不含测量与经典控制，其整体行为就是一个 2ⁿ×2ⁿ 的酉矩阵 U。单比特门是 2×2 酉矩阵，例如 Hadamard 门 H = (1/√2)[[1,1],[1,−1]]，相位门 S = diag(1, i)。当门作用在第 k 个量子比特上时，需要把它“扩展”为全空间算符：U = I⊗…⊗G⊗…⊗I，其中 G 出现在第 k 个张量因子上。多比特门如 CNOT 则不能写成简单张量积，其矩阵为 4×4 的受控翻转结构。

电路按时间顺序排列，若门序列为 G₁, G₂, …, G_m（从左到右为时间先后），则整体酉矩阵为 U = G_m ⋯ G₂ G₁。注意矩阵乘法顺序与电路图从左到右的阅读顺序相反，这是初学者最容易出错的地方。以 2 比特电路 H⊗I 后接 CNOT 为例，U = CNOT·(H⊗I)，其显式矩阵为：

CNOT·(H⊗I) =
[ 1/√2   0   1/√2    0  ]
[ 0    1/√2    0   1/√2 ]
[ 0    1/√2    0  -1/√2 ]
[ 1/√2   0  -1/√2    0  ]

酉矩阵表示的优点是语义精确、可直接做矩阵等价判定；缺点是规模随比特数指数增长，n=30 时矩阵元素已达 2⁶⁰ 量级，无法显式存储。因此它适合小规模电路的精确验证与教学演示，不适合大规模电路的直接计算。

二、张量网络：把指数级对象拆成局部结构

张量网络的核心思想是：不显式构造 2ⁿ×2ⁿ 矩阵，而是把电路表示为若干小张量通过“腿”收缩的网络。每个量子比特对应一条贯穿电路的线（bond），每个门对应一个张量节点，其秩等于所连接比特数。单比特门是 2 阶张量（一个输入腿、一个输出腿），CNOT 是 4 阶张量（两个输入腿、两个输出腿）。初始态 |0…0⟩ 可表示为各比特的 |0⟩ 向量，测量则对应在输出端引入投影或对特定腿求和。

电路求值等价于张量网络收缩：按某种顺序把相连的腿两两缩并，最终得到一个标量（振幅）或向量。收缩顺序直接决定计算复杂度。对于树状或低树宽的电路，收缩代价多项式；对于高纠缠电路，代价仍可能指数增长。张量网络表示特别适合含测量与经典控制的电路，因为测量可以自然地表示为对特定腿的求和或采样，而不必先构造完整酉矩阵。

三、决策图：用共享结构压缩状态与算符

决策图（Decision Diagram, DD）把量子态或算符表示为有向无环图，节点按变量顺序分层，每个节点有两条出边，分别对应某量子比特取 |0⟩ 或 |1⟩ 分支。相同子图可共享，从而压缩大量重复结构。例如 GHZ 态 (|000⟩+|111⟩)/√2 在决策图中只需线性数量的节点，而显式向量需要 8 个分量。算符决策图（如 QMDD）则把矩阵按行、列变量交替分层，用于表示酉矩阵或一般线性映射。

决策图的关键参数是变量顺序。顺序选得好，图规模小；顺序差，图可能指数膨胀。在验证中，决策图常用于等价性检查：把两个电路分别转为决策图，做同构或规范形比较，若规范形相同则电路等价。它比矩阵法更省空间，但需要处理变量重排与节点哈希，实现复杂度较高。

四、线性映射：统一纯态、混合态与测量

更一般的表示是把电路视为线性映射。纯态演化是酉映射 ρ ↦ UρU†；含噪声或测量的过程可用完全正迹保持映射（CPTP）描述，其 Kraus 表示为 ρ ↦ Σᵢ KᵢρKᵢ†，满足 Σᵢ Kᵢ†Kᵢ = I。测量可写成一组测量算符 {Mₘ}，得到结果 m 的概率为 p(m)=Tr(MₘρMₘ†)，后态为 MₘρMₘ†/p(m)。经典控制则对应“若测量结果为 m，则施加门 Uₘ”，在映射层面表现为分支映射的直和或条件组合。

线性映射表示的最大优势是统一性：初始态、门、测量、经典控制、噪声都能纳入同一框架，便于做形式化推理与正确性证明。其代价是算符空间维度为 4ⁿ，比态空间更大，因此实际验证中常与张量网络或决策图结合使用。

五、结构化描述：把电路拆成可验证的字段

无论采用哪种数学表示，验证工具都需要一份结构化的电路描述。一个可验证的电路对象通常包含以下字段：量子比特寄存器（数量与编号）、初始态（如全 |0⟩ 或指定态）、门列表（类型、作用比特、参数、时间步）、测量列表（测量比特、经典寄存器映射）、经典控制规则（条件寄存器、条件值、受控门）。下表给出一个 2 比特示例的结构化描述，其中 H 作用于 q0，CNOT 以 q0 为控制、q1 为目标，最后测量两个比特。

这份描述可直接映射为酉矩阵（无测量时）、张量网络（含测量时）或决策图（用于等价性检查）。验证时，先检查字段完整性，再按所选表示构造对象，最后做等价性、可达性或概率分布比对。

理解这四种表示的关键，不在于记住公式，而在于建立“同一电路、不同视角”的对应关系：酉矩阵看整体，张量网络看局部连接，决策图看共享结构，线性映射看统一语义。验证时根据电路规模、是否含测量、是否需要等价性判定来选择表示，往往比盲目套用某一种方法更有效。