2. 电流环数学模型：PMSM 的数学模型与 dq 轴解耦

做 FOC 调参，绕不开数学模型。说白了，你调的是 PI 参数，但 PI 控制的对象是电流环传递函数。如果连模型长什么样都不清楚，调参就是瞎蒙。

我个人习惯，先把 PMSM 的数学模型摆出来，再讲 dq 轴解耦，最后推导出电流环传递函数。这样你调参时心里就有底了。

先看电压方程。在 dq 旋转坐标系 下，PMSM 的定子电压方程是这样的：

ud = Rs * id + Ld * (did/dt) - ωe * Lq * iq
uq = Rs * iq + Lq * (diq/dt) + ωe * (Ld * id + ψf)

其中：

嗯，这里要注意。方程里有个 交叉耦合项：d 轴方程里有 -ωe * Lq * iq，q 轴方程里有 +ωe * Ld * id。这两个东西，就是让电流环互相干扰的元凶。

核心问题： 如果不做解耦，d 轴电流变化会影响 q 轴，q 轴电流变化也会影响 d 轴。你调一个轴，另一个轴跟着抖。

再看转矩方程：

Te = 1.5 * p * [ψf * iq + (Ld - Lq) * id * iq]

对于表贴式 PMSM（Ld = Lq），磁阻转矩项 (Ld - Lq) * id * iq 为零，转矩只跟 iq 有关。对于内置式 PMSM，还能利用磁阻转矩。不过电流环调参，我们主要关心电压方程。

为什么要解耦？我举个例子。你在调 q 轴电流环，突然电机转速上来了，ωe 变大，交叉耦合项 -ωe * Lq * iq 直接窜进 d 轴方程。d 轴电流环一看，哎？电压不对，赶紧调整。结果 q 轴又受影响…… 来回震荡。

解耦的思路很简单：把交叉耦合项补偿掉。

具体做法：

解耦后的电压方程变成：

ud* = Rs * id + Ld * (did/dt)
uq* = Rs * iq + Lq * (diq/dt)

你看，d 轴和 q 轴完全独立了。每个轴就是一个 一阶 RL 串联电路。调参就变成了调两个独立的 RL 电路。

我的经验： 解耦补偿需要准确的 Ld、Lq 和 ψf 参数。我曾经遇到过电机参数标定不准，解耦补偿反而引入干扰的情况。建议先做参数辨识，再做解耦。

解耦之后，d 轴和 q 轴的传递函数完全一样。我们以 q 轴为例推导。

从解耦后的电压方程出发：

uq* = Rs * iq + Lq * (diq/dt)

拉普拉斯变换：

Uq(s) = Rs * Iq(s) + Lq * s * Iq(s)
Uq(s) = (Rs + s * Lq) * Iq(s)

所以，被控对象的传递函数为：

G(s) = Iq(s) / Uq(s) = 1 / (Rs + s * Lq)

写成标准形式：

G(s) = 1 / (Rs * (1 + s * (Lq / Rs)))

令 τ = Lq / Rs（电气时间常数），则：

G(s) = 1 / (Rs * (1 + s * τ))

这就是电流环被控对象的传递函数。一个 一阶惯性环节，增益 1/Rs，时间常数 τ。

注意： 这个推导假设了解耦完全且忽略反电动势扰动。实际系统中，解耦误差、死区效应、采样延迟都会影响模型精度。调参时要在理论值基础上做微调。

下面这张图总结了 PMSM 数学模型、dq 解耦和传递函数推导的核心逻辑：

调参建议： 对于 SPMSM，d/q 轴 PI 参数可以设成一样。对于 IPMSM，建议分别计算 d 轴和 q 轴的时间常数，再分别整定。我习惯先用 τ = L/Rs 算个理论值，然后在此基础上 ±20% 扫参。

最后分享几个我踩过的坑：