2. 电机数学模型：三种主流电机的数学描述

2.1 直流电机数学模型

直流电机其实是最直观的。它的数学模型简单，物理意义清楚。我个人习惯用直流电机来验证控制算法，因为调试起来快，问题好定位。

直流电机的核心方程就三个：

1. 电枢回路电压方程：U = E + IR + L dI/dt
2. 电磁转矩方程：Te = Kt · I
3. 运动方程：Te - TL = J dω/dt

你看，转矩和电流是线性关系。这意味着什么？电流抖，转矩就抖，转速就跟着抖。启动抖动在直流电机里，十有八九是电流环没调好。

直流电机的传递函数也很经典：

G(s) = ω(s) / U(s) = K_t / [(L s + R)(J s + B) + K_t K_e]

其中：
  K_t — 转矩常数
  K_e — 反电动势常数
  J   — 转动惯量
  B   — 阻尼系数

这个传递函数里，J 和 B 的比值决定了系统的机械时间常数。启动抖动往往发生在机械时间常数和电气时间常数接近的时候——两者会耦合出谐振。

2.2 交流异步电机数学模型

异步电机就复杂多了。它是个高阶、非线性、强耦合的系统。我刚开始做异步电机控制时，被它的数学模型绕晕过好几次。

异步电机在 αβ 坐标系下的电压方程：

U_sα = R_s i_sα + dψ_sα/dt
U_sβ = R_s i_sβ + dψ_sβ/dt

磁链方程：
ψ_sα = L_s i_sα + L_m i_rα
ψ_sβ = L_s i_sβ + L_m i_rβ

转矩方程：

T_e = n_p · L_m · (i_sβ i_rα - i_sα i_rβ)

说白了，异步电机的转矩是定子电流和转子电流叉乘的结果。这个叉乘项对相位非常敏感。启动时如果磁链没建立好，转矩就会剧烈波动。

异步电机的等效电路参数：

2.3 永磁同步电机数学模型

永磁同步电机（PMSM）现在是主流。它效率高、功率密度大，但数学模型比直流电机复杂，比异步电机稍微好一点——至少没有转子绕组。

PMSM 在 dq 坐标系下的电压方程：

U_d = R i_d + L_d di_d/dt - ω L_q i_q
U_q = R i_q + L_q di_q/dt + ω (L_d i_d + ψ_f)

转矩方程（这个很重要）：

T_e = 1.5 n_p [ψ_f i_q + (L_d - L_q) i_d i_q]

注意看，转矩由两部分组成：

• 永磁转矩：1.5 n_p ψ_f i_q —— 这是主转矩，正比于 i_q
• 磁阻转矩：1.5 n_p (L_d - L_q) i_d i_q —— 这是凸极效应带来的

启动抖动在 PMSM 里，我见过最多的情况是 i_d 和 i_q 解耦不彻底。dq 轴之间有交叉耦合项 -ω L_q i_q 和 ω L_d i_d，如果解耦补偿没做好，电流环就会互相干扰，转矩就抖。

2.4 三种模型的统一视角

你发现没有？三种电机的运动方程其实是一样的：

T_e - T_L = J dω/dt + Bω

区别只在于 电磁转矩 T_e 的生成方式。直流电机靠电流直接生成，异步电机靠磁场旋转感应，永磁同步靠永磁体和电流相互作用。

但不管哪种电机，启动抖动最终都会落到这个运动方程上。转矩波动 → 角加速度波动 → 转速波动 → 位置波动。这个链条，就是咱们后续分析抖动的基础。