3. 速度环的数学模型：传递函数与框图，PI控制器的标准形式

这个框图其实不复杂。从左到右：给定速度 ω* 减去反馈速度 ω_fb，得到误差 e。误差进入 PI 控制器，输出电流给定 i*。电流给定再经过电流环，最终驱动电机输出实际速度 ω。

你可能会问：为什么要把电流环单独画出来？因为电流环的响应速度比速度环快得多，通常快一个数量级。我在调试高速主轴时，电流环带宽做到 2kHz，速度环带宽只能做到 200Hz 左右。所以很多时候，我们简化分析时会把电流环近似成一个一阶惯性环节，甚至直接当成 1。

3.2 传递函数的推导

好，咱们来写传递函数。先从 PI 控制器开始：

G_PI(s) = Kp + Ki/s

其中：
Kp —— 比例增益
Ki —— 积分增益
s  —— 拉普拉斯算子

这个形式大家应该都见过。但我要提醒一点：Ki 的单位是 1/s，不是无量纲的。很多新手在这里栽跟头，把 Ki 设得特别大，结果系统振荡得一塌糊涂。

把电流环简化成一阶惯性环节：

G_c(s) = 1 / (T_c * s + 1)

其中 T_c 是电流环等效时间常数，通常取 0.5~2ms

电机本身的传递函数呢？对于永磁同步电机，在忽略反电动势影响的前提下：

G_m(s) = Kt / (J * s)

其中：
Kt —— 转矩常数 (Nm/A)
J  —— 转动惯量 (kg·m²)

把这三部分串起来，速度环的开环传递函数就是：

G_open(s) = (Kp + Ki/s) * [1 / (T_c * s + 1)] * (Kt / (J * s))

嗯，看着有点长。但别怕，我们把它整理一下：

G_open(s) = (Kp * s + Ki) / s * [1 / (T_c * s + 1)] * (Kt / (J * s))

         = (Kp * s + Ki) * Kt / [J * s² * (T_c * s + 1)]

3.3 PI控制器的标准形式

PI 控制器在实际工程中有两种常见写法。我见过不少工程师在这上面搞混，咱们得说清楚。

我个人习惯用并联式。为什么？因为调试的时候，Kp 和 Ki 各管各的，互不干扰。你调 Kp 只影响响应速度，调 Ki 只影响低频增益，思路清晰。

但串联式也有它的好处。Ti 的物理意义很直观——它表示积分作用需要多长时间才能追上比例作用。Ti 越小，积分作用越强。我记得有一次帮客户调试一台印刷机，对方工程师坚持用串联式，说他们老一代的模拟控制器就是这么标的，改不了。那就顺着来呗，只要换算清楚就行。

3.4 闭环传递函数与系统特性

有了开环传递函数，闭环传递函数就好办了：

G_close(s) = G_open(s) / [1 + G_open(s) * H(s)]

其中 H(s) 是反馈通道传递函数，通常 H(s) = 1（单位反馈）

代入前面推导的开环传递函数：

G_close(s) = [(Kp * s + Ki) * Kt] / [J * s² * (T_c * s + 1) + (Kp * s + Ki) * Kt]

这个式子看着复杂，但我们可以从中读出几个关键信息：

• 分母是三次方程（s³ 项来自 T_c），所以速度环本质上是三阶系统。三阶系统就可能出现振荡甚至不稳定。
• 分子有零点（s 项来自 Kp），这个零点会影响系统的超调量。零点越靠近虚轴，超调越大。
• 稳态增益为 1（令 s→0），说明理论上对阶跃指令无静差。这就是积分项的功劳。

3.5 参数对系统性能的影响

咱们用一张表总结一下 Kp 和 Ki 对系统性能的影响：

这里有个经验值，我一般用来做初始设定：

Kp_initial ≈ 0.5 * J * ω_bw
Ki_initial ≈ 0.2 * Kp_initial * ω_bw

其中 ω_bw 是期望的速度环带宽 (rad/s)

举个例子，如果电机惯量 J = 0.001 kg·m²，期望带宽 100 Hz（约 628 rad/s）：

Kp_initial ≈ 0.5 * 0.001 * 628 = 0.314
Ki_initial ≈ 0.2 * 0.314 * 628 ≈ 39.4

当然，这只是初始值。实际调试时还要根据负载情况、机械共振点等因素微调。但有了这个起点，至少不会把系统调得飞起来。