4. 梯形速度曲线：最经典的加减速模型

梯形速度曲线，说白了就是让速度先匀加速、再匀速、最后匀减速。你想想看，这名字怎么来的？把速度曲线画出来，形状就像个梯形。我在刚入行那会儿，第一个接触的电子凸轮曲线就是它。简单、直观、好调，直到现在很多通用场合我还在用。

4.1 数学模型

梯形速度曲线由三个阶段组成。每个阶段都有明确的数学表达式。我习惯用位移、速度、加速度三个维度来看它。

设总位移为 S，最大速度为 V_max，加速度为 a，减速度为 d（通常 a = d）。

三个阶段的运动方程如下：

阶段	时间区间	速度 v(t)	位移 s(t)	加速度
加速段	0 ≤ t ≤ ta	v = a·t	s = ½·a·t²	a
匀速段	ta ≤ t ≤ ta+tc	v = Vmax	s = Vmax·(t - ta) + Sa	0
减速段	ta+tc ≤ t ≤ T	v = Vmax - d·(t - ta - tc)	s = Vmax·(t - ta - tc) - ½·d·(t - ta - tc)² + Sa + Sc	-d

其中：

• t_a = V_max / a —— 加速时间
• t_d = V_max / d —— 减速时间
• S_a = ½·V_max·t_a —— 加速段位移
• S_d = ½·V_max·t_d —— 减速段位移
• S_c = S - S_a - S_d —— 匀速段位移
• t_c = S_c / V_max —— 匀速段时间
• 总时间 T = t_a + t_c + t_d

4.2 三个阶段的计算方法

实际编程时，我们通常根据已知条件反推参数。最常见的情况有两种。

情况一：已知 S、V_max、a、d

这是最理想的情况。直接按公式算就行。但要注意一个坑——如果 S 太小，可能跑不到 V_max 就要开始减速了。我曾经在调试一台贴片机时遇到过，总位移只有 10mm，结果算出来加速还没结束就得减速，梯形变成了三角形。

判断条件很简单：

if (S < S_a + S_d) {
    // 跑不到最大速度，变成三角形曲线
    // 需要重新计算实际能达到的最高速度
    V_actual = sqrt(2 * a * d * S / (a + d));
    t_a = V_actual / a;
    t_d = V_actual / d;
    t_c = 0;
} else {
    // 正常梯形曲线
    t_c = (S - S_a - S_d) / V_max;
}

情况二：已知 S、总时间 T、a、d

这种场景在同步控制里很常见。比如主轴转一圈，从轴必须在 0.5 秒内走完 100mm。这时候需要反推 V_max。

求解步骤：

1. 假设能跑出梯形，则 T = t_a + t_c + t_d
2. 代入 t_a = V_max/a，t_d = V_max/d
3. 匀速段位移 S_c = V_max·(T - V_max/a - V_max/d)
4. 总位移 S = ½·V_max²/a + V_max·(T - V_max/a - V_max/d) + ½·V_max²/d
5. 整理成关于 V_max 的一元二次方程求解

嗯，这里要注意，解出来的 V_max 不能超过电机额定转速。我见过有人算出来 5000rpm，结果电机只能跑 3000，最后曲线全乱套了。

4.3 梯形曲线的 SVG 示意图

下面这张图展示了完整的梯形速度曲线。你可以看到速度、加速度、位移三个维度的对应关系。

_a t_a+t_c T V_max 加速度 a(t) +a -d 0 位移 s(t) S（总位移） 说明 加速段：抛物线 匀速段：直线 减速段：抛物线 （反向）

4.4 优缺点分析

梯形曲线用了这么多年，自然有它的道理。但也不是万能的。我根据自己的项目经验，给你列个清单。

维度	优点	缺点
计算复杂度	公式简单，单片机也能跑	—
运动效率	匀速段效率高，适合长行程	短行程跑不出梯形，效率下降
加速度特性	加速度恒定，电机扭矩好匹配	加加速度无穷大，冲击大
柔性	—	启停瞬间有冲击，不适合精密定位
调试难度	参数少，调起来快	—
适用场景	传送带、搬运、点胶等	高速高精度场合不推荐

注意：梯形曲线最大的问题在于加加速度（Jerk）无穷大。在加速开始和结束的瞬间，加速度从 0 跳变到 a，或者从 a 跳变到 0。这会产生冲击力。我曾经在调试一台高速贴片机时，用梯形曲线跑 3000rpm，结果机器抖得跟筛子一样。后来换成 S 形曲线才解决。

4.5 什么时候该用梯形曲线？

我个人总结了三句话：

• 行程长、速度高——梯形曲线的匀速段能充分发挥效率
• 负载刚性大——不怕冲击，比如重型搬运
• 控制器算力有限——梯形曲线计算量最小，老式 PLC 也能跑

反过来，如果你做的是芯片封装、精密测量、高速贴装，我建议你直接跳过梯形曲线，去看后面的 S 形曲线或者多项式曲线。那些才是干精细活的料。

一个小技巧：如果你暂时只能用梯形曲线，又怕冲击太大，可以在加速开始和结束的位置加一段很小的圆弧过渡。虽然不完美，但能缓解不少。我管这叫「土办法」，应急的时候挺好使。

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