4. 逐点比较法（二）：圆弧插补原理、象限处理、终点判别

好，咱们接着聊逐点比较法。上一章我们把直线插补讲透了，这一章轮到圆弧了。

说实话，圆弧插补比直线要稍微绕一点。为什么？因为直线只有一个方向偏差，而圆弧的偏差跟半径、象限都有关系。我刚开始做数控系统那会儿，第一次写圆弧插补就栽了个跟头——四个象限的符号处理错了，结果画出来的圆像个被踩扁的易拉罐。

嗯，咱们今天就把这个坑填平。

4.1 圆弧插补的基本原理

先想一个问题：怎么判断一个点是在圆内、圆外，还是在圆上？

很简单，看它到圆心的距离跟半径比一下就行。

假设我们要插补第一象限的逆圆（逆时针方向），圆心在原点，半径为 R。当前刀具位置是 P(x, y)，那么偏差函数就是：

F = x² + y² - R²

• F = 0：点在圆上，完美
• F > 0：点在圆外，需要向圆内方向走
• F < 0：点在圆内，需要向圆外方向走

那问题来了：向哪个方向走？这取决于圆弧的方向——是逆圆还是顺圆。

4.2 象限处理——四个象限的符号规则

第一象限搞定了，那第二、第三、第四象限呢？

你想想看，刀具在不同象限，坐标的符号不一样，进给方向自然也要跟着变。我见过不少新手直接套第一象限的公式，结果画出来的圆在象限交界处断开了。

咱们先看逆圆四个象限的进给规则：

象限	F ≥ 0 进给方向	F < 0 进给方向
第一象限	-X	+Y
第二象限	+Y	-X
第三象限	+X	-Y
第四象限	-Y	+X

再看顺圆的规则：

象限	F ≥ 0 进给方向	F < 0 进给方向
第一象限	-Y	+X
第二象限	-X	-Y
第三象限	+Y	-X
第四象限	+X	+Y

4.3 终点判别——怎么知道圆画完了？

圆弧插补的终点判别比直线复杂一些。直线可以用总步数，但圆弧呢？

常用的方法有三种：

1. 总步数法：计算从起点到终点需要走的总步数，每走一步减一，减到零就停。
2. 坐标比较法：每次进给后判断当前坐标是否到达终点坐标。
3. 偏差值法：当偏差值 F 回到某个阈值范围内时认为到达终点。

我个人最常用的是总步数法。为什么？简单、可靠、不依赖坐标精度。

总步数的计算公式：

n = |Xe - Xs| + |Ye - Ys|

其中 (Xs, Ys) 是起点，(Xe, Ye) 是终点。注意，这里用的是曼哈顿距离，不是欧氏距离。因为逐点比较法每一步只走一个轴，曼哈顿距离正好等于总步数。

4.4 圆弧插补的完整流程

把上面这些串起来，一个完整的圆弧插补流程是这样的：

1. 输入起点、终点、圆心、圆弧方向（逆圆/顺圆）
2. 计算初始偏差值 F = Xs² + Ys² - R²
3. 计算总步数 n = |Xe - Xs| + |Ye - Ys|
4. 判断当前象限
5. 根据象限和 F 值决定进给方向
6. 更新坐标和偏差值
7. 步数减一，判断是否到达终点
8. 如果没到，回到步骤 4；如果到了，结束

下面我用一个 SVG 流程图把整个过程可视化一下：

4.5 代码实现——C 语言版圆弧插补

光说不练假把式。下面我给出一段完整的 C 语言实现，注释写得很清楚，你可以直接拿去用：

// 圆弧插补函数
// 参数：起点 (xs, ys)，终点 (xe, ye)，圆心 (cx, cy)，方向 dir（0=逆圆，1=顺圆）
void arc_interpolate(float xs, float ys, float xe, float ye,
                     float cx, float cy, int dir) {
    float x = xs - cx;  // 相对坐标
    float y = ys - cy;
    float R2 = x*x + y*y;  // 半径平方
    float F = x*x + y*y - R2;  // 初始偏差

    // 计算总步数
    int n = (int)(fabs(xe - xs) + fabs(ye - ys));

    while (n > 0) {
        // 判断象限
        int quad = 0;
        if (x >= 0 && y >= 0) quad = 1;
        else if (x < 0 && y >= 0) quad = 2;
        else if (x < 0 && y < 0) quad = 3;
        else quad = 4;

        // 根据象限和方向决定进给
        int step_x = 0, step_y = 0;
        if (dir == 0) {  // 逆圆
            switch (quad) {
                case 1: step_x = (F >= 0) ? -1 : 0; step_y = (F >= 0) ? 0 : 1; break;
                case 2: step_x = (F >= 0) ? 0 : -1; step_y = (F >= 0) ? 1 : 0; break;
                case 3: step_x = (F >= 0) ? 1 : 0; step_y = (F >= 0) ? 0 : -1; break;
                case 4: step_x = (F >= 0) ? 0 : 1; step_y = (F >= 0) ? -1 : 0; break;
            }
        } else {  // 顺圆
            switch (quad) {
                case 1: step_x = (F >= 0) ? 0 : 1; step_y = (F >= 0) ? -1 : 0; break;
                case 2: step_x = (F >= 0) ? -1 : 0; step_y = (F >= 0) ? 0 : -1; break;
                case 3: step_x = (F >= 0) ? 0 : -1; step_y = (F >= 0) ? 1 : 0; break;
                case 4: step_x = (F >= 0) ? 1 : 0; step_y = (F >= 0) ? 0 : 1; break;
            }
        }

        // 更新坐标和偏差
        x += step_x;
        y += step_y;
        F = x*x + y*y - R2;
        n--;

        // 输出当前点（实际项目中这里发脉冲给驱动器）
        printf("Step: (%f, %f)\n", x + cx, y + cy);
    }
}

4.6 常见问题与避坑指南

• 象限边界处理：当刀具正好在坐标轴上时，属于哪个象限？我建议归到相邻象限中偏差较小的那个，或者单独处理轴上的情况。
• 圆弧过象限：如果圆弧跨越多个象限，终点判别要特别小心。我曾经用总步数法没处理好，结果圆在象限交界处多走了两步，工件直接报废。
• 偏差累积：浮点数运算会有误差，长时间插补后偏差可能漂移。建议每走若干步做一次强制校正。