4. 逐点比较法（三）：圆弧插补原理，偏差计算公式推导，象限处理与过象限问题

好，咱们接着聊逐点比较法。前两章讲了直线插补，这一章轮到圆弧了。说实话，圆弧插补比直线要绕一点，但核心思路没变——还是那四个字：逐点比较。

你想想看，直线插补时，我们比较的是当前点与理想直线的偏离。圆弧呢？比较的是当前点到圆心的距离，跟理想半径比一比。说白了，就是看你是跑到了圆里面，还是圆外面。

4.1 圆弧插补的偏差函数

假设我们要加工第一象限的逆圆弧。起点是 A(x₀, y₀)，终点是 B(xₑ, yₑ)，圆心在原点，半径为 R。

圆弧上任意一点 (x, y) 满足：

x² + y² = R²

那么，对于当前刀具所在点 P(xᵢ, yⱼ)，我们定义偏差函数：

Fᵢⱼ = xᵢ² + yⱼ² - R²

这个 F 值就是判断依据：

• F = 0：点在圆弧上
• F > 0：点在圆弧外侧
• F < 0：点在圆弧内侧

嗯，这里要注意：偏差的正负决定了进给方向。对于逆圆弧，F ≥ 0 时我们向 -X 方向走一步，F < 0 时向 +Y 方向走一步。为什么？因为要往圆弧靠拢嘛。

4.2 偏差递推公式推导

直接算 x² + y² - R² 当然可以，但每次都要算平方，计算量太大。我早期做嵌入式数控系统时，CPU 算力有限，平方运算简直是噩梦。所以必须用递推公式。

咱们分两种情况推导：

情况一：F ≥ 0，向 -X 方向走一步

新坐标：xᵢ₊₁ = xᵢ - 1，yⱼ 不变

新偏差：

Fᵢ₊₁,ⱼ = (xᵢ - 1)² + yⱼ² - R²
        = xᵢ² - 2xᵢ + 1 + yⱼ² - R²
        = (xᵢ² + yⱼ² - R²) - 2xᵢ + 1
        = Fᵢⱼ - 2xᵢ + 1

情况二：F < 0，向 +Y 方向走一步

新坐标：xᵢ 不变，yⱼ₊₁ = yⱼ + 1

新偏差：

Fᵢ,ⱼ₊₁ = xᵢ² + (yⱼ + 1)² - R²
        = xᵢ² + yⱼ² + 2yⱼ + 1 - R²
        = (xᵢ² + yⱼ² - R²) + 2yⱼ + 1
        = Fᵢⱼ + 2yⱼ + 1

你看，递推公式里只有加减法和移位操作，没有平方。这在老式单片机系统上跑起来飞快。我记得有一次调试一个 8 位机上的圆弧插补，用递推公式后，插补周期从 2ms 降到了 0.3ms，效果立竿见影。

4.3 象限处理

第一象限搞定了，其他象限呢？其实原理一样，只是进给方向变了。我整理了一张表，方便你对照：

象限	圆弧方向	F ≥ 0 进给方向	F < 0 进给方向
一	逆圆	-X	+Y
一	顺圆	-Y	+X
二	逆圆	-Y	-X
二	顺圆	+X	-Y
三	逆圆	+X	-Y
三	顺圆	+Y	+X
四	逆圆	+Y	+X
四	顺圆	-X	+Y

你可能会问：这 8 种情况怎么记？我有个笨办法——记住第一象限逆圆，然后根据对称性推。但实际写代码时，我建议直接用查表法，把进给方向存成数组，运行时根据象限和方向索引。这样代码清晰，不容易出错。

4.4 过象限问题

过象限，是圆弧插补里最容易翻车的地方。什么叫过象限？就是圆弧从当前象限跨到相邻象限。比如从第一象限逆圆走到第二象限，中间要经过 90° 边界。

为什么会出问题？因为跨象限时，进给方向要变。如果程序没处理好，刀具会在边界上犹豫不决，甚至跑偏。

解决过象限问题，通常有两种思路：

1. 象限切换法：检测到当前点到达象限边界（x=0 或 y=0），立即切换象限标志，更新进给方向和偏差公式中的符号。
2. 统一坐标法：把坐标取绝对值，始终按第一象限的规则算，进给方向由象限和圆弧方向共同决定。这种方法代码更简洁，但逻辑要小心。

我个人更推荐第二种。你看，不管在哪个象限，偏差递推公式的形式是一样的——F ± 2|x| + 1 或 F ± 2|y| + 1。区别只在于加减号和进给轴。把坐标取绝对值后，递推公式统一了，进给方向单独查表，逻辑分离，调试起来方便很多。

4.5 圆弧插补流程图

下面这张图是我当年画给团队培训用的，把整个流程串了一遍：

流程其实不复杂：初始化 → 判终点 → 判偏差 → 走步 → 更新偏差 → 回环。关键就两点：一是偏差递推公式要写对，二是过象限时坐标符号和进给方向要同步切换。

4.6 代码示例

最后，给一段我常用的圆弧插补核心代码。这是第一象限逆圆的实现，其他象限加上象限判断逻辑即可：

// 第一象限逆圆插补
// 起点(x0,y0)，终点(xe,ye)，圆心在原点
void arc_interp_ccw_q1(int x0, int y0, int xe, int ye) {
    int x = x0, y = y0;
    int F = 0;  // 起点在圆弧上，偏差为0

    while (1) {
        // 判断是否到达终点
        if (x == xe && y == ye) break;

        if (F >= 0) {
            // 向 -X 方向走一步
            x--;
            F = F - 2*x - 1;  // 注意：这里 x 已经更新，所以是 -2*x - 1
        } else {
            // 向 +Y 方向走一步
            y++;
            F = F + 2*y - 1;  // 注意：这里 y 已经更新，所以是 +2*y - 1
        }

        // 输出脉冲或更新位置
        // output_step();
    }
}