4. 多项式速度规划：三次、五次、七次多项式的数学推导与实战对比

多项式速度规划，说白了就是用一条光滑的数学曲线来描述运动过程。你想想看，电机从静止加速到目标速度，再减速停止——如果直接给阶跃指令，那冲击力能把机械结构打坏。多项式就是来解决这个问题的。

我个人习惯把多项式规划分成三个档次：三次、五次、七次。档次越高，曲线越光滑，但计算量也越大。咱们一个一个来拆。

三次多项式的形式很简单：

s(t) = a₀ + a₁·t + a₂·t² + a₃·t³

它有4个未知系数，所以需要4个边界条件。通常我们给定起点和终点的位置与速度：

边界	条件
t = 0	s(0) = s₀, v(0) = v₀
t = T	s(T) = s₁, v(T) = v₁

把边界代入，解一个4元线性方程组，就能得到系数。我在项目中遇到过用三次多项式做点对点定位——比如一个机械臂从A点抓取到B点放下。速度连续，但加速度在起点和终点有跳变。说白了，加速度不连续。

注意：三次多项式的加速度在t=0和t=T处是突变的。如果系统对冲击敏感（比如精密装配），三次多项式可能会引起末端抖动。我曾经吃过这个亏，后来才换的五次。

五次多项式长这样：

s(t) = a₀ + a₁·t + a₂·t² + a₃·t³ + a₄·t⁴ + a₅·t⁵

6个系数，需要6个边界条件。除了位置和速度，我们还要约束起点和终点的加速度：

边界	条件
t = 0	s(0) = s₀, v(0) = v₀, a(0) = a₀
t = T	s(T) = s₁, v(T) = v₁, a(T) = a₁

解这个方程组，你会得到一组封闭解。我建议你直接记住公式，或者写一个通用求解器——每次手算太容易出错。

五次多项式的好处是加速度连续，没有突变。这意味着电机电流更平滑，机械冲击更小。我在做高速贴片机时，所有运动轨迹都用五次多项式——贴片头每秒要完成几十次取放，加速度不连续的话，振动根本压不住。

实战技巧：如果起点和终点的加速度都设为0，五次多项式会变成一个对称的S形曲线。这是最常用的配置，适合大多数点到点运动。

七次多项式是：

s(t) = a₀ + a₁·t + a₂·t² + a₃·t³ + a₄·t⁴ + a₅·t⁵ + a₆·t⁶ + a₇·t⁷

8个系数，8个边界条件。除了位置、速度、加速度，还要约束加加速度（Jerk）：

边界	条件
t = 0	s(0) = s₀, v(0) = v₀, a(0) = a₀, j(0) = j₀
t = T	s(T) = s₁, v(T) = v₁, a(T) = a₁, j(T) = j₁

七次多项式能保证加加速度连续。加加速度是什么？就是加速度的变化率。如果加加速度有跳变，电机力矩会突然变化，产生高频振动。

说实话，七次多项式在工业机器人里用得不多——计算量大了不少，但实际效果和五次多项式差别不大。除非你是在做超高精度的场景，比如光刻机、晶圆搬运，否则五次多项式已经够用了。

特性	三次多项式	五次多项式	七次多项式
连续阶数	速度连续	加速度连续	加加速度连续
边界条件数	4	6	8
计算复杂度	低	中	高
适用场景	低速、低精度	通用工业运动	超高精度、超高速
冲击程度	有加速度跳变	无加速度跳变	无加加速度跳变

我个人的选型原则很简单：能用五次就不用三次，能用五次就不用七次。五次多项式是性价比最高的选择。

下面这张图帮你理清三种多项式的核心逻辑：

最后给你一个我自己的决策流程：

核心总结：三次多项式是入门，五次多项式是主力，七次多项式是锦上添花。别盲目追求高阶，适合你的系统才是最好的。