第2章跟随误差数学模型：位置环、速度环、电流环的传递函数与误差建模

上一章我们聊了跟随误差是什么，以及它为什么让人头疼。这一章，咱们得把袖子撸起来，看看误差到底是怎么在伺服系统里一步步产生的。

说白了，伺服系统就是个三环嵌套的结构：电流环在最里面，速度环包着它，位置环在最外面。每个环都有自己的动态特性，都会给最终的跟随误差“贡献”一份力。我个人习惯，做误差分析前，先把这三个环的传递函数摸清楚。不然你后面调参数、做补偿，心里没底。

先看一张我手绘的结构图，它把三环的关系讲得很清楚。

图2-1：三环伺服系统标准控制结构

你看，指令从左边进来，经过位置环、速度环、电流环，最后驱动电机。反馈信号从右边绕回来，跟指令做比较。这个结构，搞伺服的人天天见。但你真的算过每个环节的传递函数吗？

电流环是三个环里响应最快的。它的任务很简单：让实际电流快速跟上电流指令。我见过不少工程师只关心位置环，觉得电流环反正够快，不用管。嗯，这个想法在低速场合还行，但高速高精度场合，电流环的延迟会直接变成位置误差。

电流环的简化模型，通常可以写成：

G_c(s) = K_c / (T_c * s + 1)

其中：

电流环的跟随误差，说白了就是电流指令和实际电流之间的差值。在频域里，这个误差可以写成：

E_c(s) = I_ref(s) - I_actual(s)
       = I_ref(s) * [1 - G_c(s)]

实战经验： 我在调试一个高速贴片机时，发现位置环增益怎么调都振。后来一测电流环带宽，发现因为PWM频率设得太低，电流环响应慢了半拍。把PWM频率从8kHz提到16kHz，电流环带宽翻了一倍，位置环立马稳了。所以，电流环不是“够用就行”，它是整个系统的地基。

速度环把电流环当作它的“执行器”。速度环的控制器通常是PI，它的输出就是电流环的指令。速度环的传递函数，在电流环已经闭环的前提下，可以写成：

G_v(s) = [K_v * (T_v * s + 1) / (T_v * s)] * [G_c(s) / (J * s + B)]

这里：

速度环的跟随误差，主要来自两个方面：

速度环误差的频域表达式：

E_v(s) = V_ref(s) - V_actual(s)
       = V_ref(s) * [1 - G_v(s)]

注意： 速度环的带宽不能无限提高。我遇到过有人把速度环增益调得特别高，结果电流环饱和了，速度环反而出现极限环振荡。速度环的带宽，一般建议设置在电流环带宽的1/5到1/10之间。这是经验值，但很管用。

终于到了最外层的位置环。位置环的输入是位置指令，输出是实际位置。位置环控制器通常用P（比例）控制，有时候加前馈。它的传递函数：

G_p(s) = K_p * G_v(s) / s

注意这里多了一个积分项 1/s，因为速度积分得到位置。位置环的跟随误差，就是我们最关心的那个误差：

E_p(s) = P_ref(s) - P_actual(s)
       = P_ref(s) * [1 - G_p(s)]

对于斜坡输入（匀速运动），位置环的稳态误差是：

e_ss = V / K_p

其中V是运动速度。这个公式很关键——它告诉我们：

但增益不能无限高，高了就振荡。这就是矛盾所在。

三个环的误差不是独立存在的。它们会叠加、会传递。我习惯用一个表格来总结它们的关系：

误差来源	主要影响因素	对位置误差的贡献方式	典型量级
电流环误差	PWM频率、电流环带宽、死区时间	通过力矩波动影响速度，间接影响位置	微小（可忽略到数个脉冲）
速度环误差	速度环带宽、负载惯量、摩擦	速度偏差积分后变成位置偏差	数个到数十个脉冲
位置环误差	位置环增益、运动速度、加速度	直接表现为位置滞后	数十到数百个脉冲

你看，电流环的误差虽然小，但它会“放大”到速度环，再“积分”到位置环。所以，别小看任何一个环节。

把三个环串起来，我们可以写出从位置指令到位置输出的完整传递函数：

G_total(s) = G_p(s) * G_v(s) * G_c(s) / [1 + G_p(s) * G_v(s) * G_c(s)]

跟随误差的完整表达式：

E_total(s) = P_ref(s) * [1 - G_total(s)]

这个公式看着简单，但展开后很复杂。实际工程中，我很少去解这个高阶方程。我更常用的是：

核心结论： 跟随误差的数学模型告诉我们三件事：

第2章 跟随误差数学模型：位置环、速度环、电流环的传递函数与误差建模