4、状态空间平均法：从推导到实战

状态空间平均法，这个名字听起来挺唬人的。说白了，它就是把一个开关变换器这种时变系统，用一个连续的平均模型来近似。为什么要这么做？因为咱们做环路设计时，需要的是连续、线性的传递函数，而不是一堆开关波形。

我个人习惯把这种方法叫做“开关变换器的翻译器”——它把开关动作翻译成连续系统能懂的语言。今天咱们就把它掰开揉碎，看看怎么推导，怎么用在Buck上，以及DCM和CCM到底差在哪。

4.1 状态空间平均法的核心思想

先问一个问题：一个Buck变换器，开关管导通和关断时，电路结构一样吗？

不一样。对吧？导通时是一个二阶电路，关断时是另一个二阶电路。这就是时变系统的麻烦——每个开关周期内，系统在两个子拓扑之间来回切换。

状态空间平均法的思路很简单：

• 写出每个子拓扑的状态方程
• 按占空比加权平均
• 得到一个连续的平均模型

嗯，这里要注意：平均的前提是开关频率远高于系统带宽。如果开关频率只有10kHz，你要建模的环路带宽是5kHz，那平均法就不太靠谱了。

4.2 状态空间平均法的推导步骤

推导过程其实就四步，我当年学的时候总觉得复杂，后来发现只要按部就班走，一点都不难。

1. 写出子拓扑的状态方程

   开关导通时：

   dx/dt = A₁·x + B₁·u
   y = C₁·x + E₁·u

   开关关断时：

   dx/dt = A₂·x + B₂·u
   y = C₂·x + E₂·u

2. 加权平均

   设占空比为d，则平均状态方程为：

   dx/dt = [d·A₁ + (1-d)·A₂]·x + [d·B₁ + (1-d)·B₂]·u
   y = [d·C₁ + (1-d)·C₂]·x + [d·E₁ + (1-d)·E₂]·u

3. 求稳态工作点

   令dx/dt = 0，解出稳态值X、U、Y。

4. 小信号扰动线性化

   在稳态点附近加入小扰动，忽略高阶项，得到小信号模型。

4.3 CCM下的Buck变换器建模

咱们拿Buck变换器开刀。CCM模式下，电感电流连续，两个子拓扑都很规整。

先选状态变量。我习惯用电感电流i_L和输出电压v_o作为状态变量，输入是输入电压v_in。

子拓扑1（开关导通，二极管截止）：

diL/dt = (vin - vo) / L
dvo/dt = (iL - vo/R) / C

子拓扑2（开关截止，二极管续流）：

diL/dt = -vo / L
dvo/dt = (iL - vo/R) / C

加权平均后：

diL/dt = (d·vin - vo) / L
dvo/dt = (iL - vo/R) / C

稳态时，令导数为零：

V_o = D · V_in
I_L = V_o / R

嗯，这不就是咱们熟悉的Buck公式吗？

小信号模型呢？我直接给结果：

Gvd(s) = V_in · (1 + s·R_c·C) / (s²·L·C + s·(L/R + R_c·C) + 1)

这里R_c是电容的ESR。实际项目中，ESR会在高频引入一个零点，对环路补偿影响很大。

4.4 DCM下的建模差异

DCM模式就有点意思了。电感电流会降到零，多了一个“电感电流为零”的子拓扑。

你想想看，CCM是两个子拓扑，DCM是三个子拓扑。但状态空间平均法还能用吗？

能用，但要小心。

DCM的三个子拓扑：

• 阶段1：开关导通，电感电流上升
• 阶段2：开关截止，电感电流下降（但还没到零）
• 阶段3：电感电流为零，负载由电容供电

加权平均时，占空比d₁和d₂都要考虑。而且d₂不是独立的，它由电路参数决定：

d₂ = (2·L·I_o) / (d₁·V_in·T_s)

这里T_s是开关周期。你看，d₂和负载电流I_o有关，这就导致DCM的小信号模型比CCM复杂得多。

DCM下Buck的传递函数：

Gvd_DCM(s) = G_dc · (1 - s·L/R) / (1 + s·R·C)

注意看，DCM的传递函数是一阶的！为什么？因为电感电流在每个周期都归零，电感不再存储能量，系统降阶了。

对比项	CCM	DCM
子拓扑数量	2个	3个
系统阶数	二阶	一阶（近似）
传递函数形式	二阶系统，有共轭极点	一阶系统，单极点
右半平面零点	无（Buck）	有（轻载时明显）
建模复杂度	中等	较高

4.5 状态空间平均法的知识体系

下面这张图是我自己整理的，把整个状态空间平均法的脉络画清楚了。你看一眼就能知道每一步在做什么。

4.6 实战中的避坑指南

做了这么多年电源设计，我用状态空间平均法踩过的坑不少。分享几个典型的：

• 忽略寄生参数：我曾经在一个5V/2A的Buck设计中，直接用理想模型算补偿，结果实测相位裕度只有25度。后来加上ESR和DCR，模型才和实测对上。
• DCM下的右半平面零点：轻载时这个零点会跑到低频，如果不处理，环路很容易振荡。我建议在DCM下用Type III补偿，把零点提前抵消掉。
• 平均模型的有效频率范围：状态空间平均法在1/5开关频率以下才准确。超过这个范围，要考虑采样效应和延迟。