3. 逐点比较法（二）：圆弧插补原理，偏差计算与进给规则，终点判别方法

上一章我们聊了直线插补，说白了就是让刀具走一条笔直的路径。但实际加工中，圆弧才是最常见的轮廓——倒角、圆孔、弧形曲面，哪个都离不开它。逐点比较法处理圆弧的思路，其实和直线一脉相承：每一步都判断当前位置在圆弧的哪一侧，然后决定下一步往哪走。

我个人习惯把圆弧插补比作「走钢丝」——你每一步都要知道自己偏了没有，偏了就赶紧纠正。今天我们就把这个过程拆开来看。

3.1 圆弧插补的基本原理

先想一个问题：怎么判断一个点是在圆弧上、圆弧内还是圆弧外？

假设我们要加工第一象限的逆圆弧，圆心在原点，半径为 R。对于任意点 P(x, y)，它到圆心的距离平方是 x² + y²。和 R² 比一比：

• 如果 x² + y² = R²，点在圆弧上
• 如果 x² + y² > R²，点在圆弧外
• 如果 x² + y² < R²，点在圆弧内

嗯，这就是偏差判断的数学基础。我们定义偏差函数：

F = x² + y² - R²

F = 0 时在圆上，F > 0 在圆外，F < 0 在圆内。就这么简单。

3.2 进给规则：怎么走才能不跑偏？

知道了偏差，下一步就是「怎么走」。对于第一象限逆圆弧，规则很直观：

• F ≥ 0：点在圆上或圆外，需要向圆内走，也就是沿 -X 方向进给一步
• F < 0：点在圆内，需要向圆外走，也就是沿 +Y 方向进给一步

你想想看，这个逻辑其实和直线插补很像——都是「偏哪补哪」。只不过圆弧的偏差计算稍微复杂一点，因为每走一步，坐标变了，偏差也要跟着更新。

3.3 偏差计算的递推公式

如果每一步都重新算 x² + y² - R²，计算量太大了。实际工程中，我们用的是递推公式——根据上一步的偏差和进给方向，快速算出下一步的偏差。

假设当前点 P(xᵢ, yⱼ)，偏差 Fᵢⱼ = xᵢ² + yⱼ² - R²。

情况一：沿 -X 方向进给一步
新坐标：xᵢ₊₁ = xᵢ - 1，yⱼ 不变
新偏差：

Fᵢ₊₁,ⱼ = (xᵢ - 1)² + yⱼ² - R²
        = xᵢ² - 2xᵢ + 1 + yⱼ² - R²
        = Fᵢⱼ - 2xᵢ + 1

情况二：沿 +Y 方向进给一步
新坐标：xᵢ 不变，yⱼ₊₁ = yⱼ + 1
新偏差：

Fᵢ,ⱼ₊₁ = xᵢ² + (yⱼ + 1)² - R²
        = xᵢ² + yⱼ² + 2yⱼ + 1 - R²
        = Fᵢⱼ + 2yⱼ + 1

你看，只需要一次加法和一次乘法，比重新算平方快多了。我在项目中用过这个递推公式，在 8 位单片机上跑圆弧插补，速度完全够用。

3.4 终点判别方法

圆弧插补不能一直走，得知道什么时候停。终点判别有三种常用方法：

方法	原理	特点
总步数法	计算 X 方向和 Y 方向总步数 n = |Xₑ - Xₛ| + |Yₑ - Yₛ|，每走一步减 1	简单可靠，最常用
坐标比较法	实时比较当前坐标是否到达终点坐标	直观，但需注意象限切换
偏差归零法	当偏差 F = 0 且已走完理论弧长时停止	精度高，但实现复杂

我个人最推荐总步数法。为什么？因为它和进给方向无关，不管你怎么走，总步数是固定的。在项目里，我一般初始化时就算好总步数，然后每进给一步就减 1，减到 0 就停。简单、稳定、不出错。

3.5 完整插补流程与 SVG 图解

把上面这些串起来，一个完整的圆弧插补流程是这样的：

1. 初始化：设置起点坐标、终点坐标、圆心、半径，计算总步数 n
2. 偏差判断：根据当前偏差 F 的符号，决定进给方向
3. 进给一步：沿选定方向走一个脉冲当量
4. 偏差更新：用递推公式计算新偏差
5. 坐标更新：更新当前坐标值
6. 终点判别：总步数减 1，若不为 0 则回到步骤 2
7. 结束：到达终点，插补完成

下面这张图把这个流程画清楚了：

3.6 代码实现示例

理论说完了，上代码。下面是一个第一象限逆圆弧插补的 C 语言实现片段：

// 圆弧插补：第一象限逆圆弧
// 起点 (xs, ys)，终点 (xe, ye)，圆心 (0, 0)
void arc_interp(int xs, int ys, int xe, int ye) {
    int x = xs, y = ys;
    int F = x*x + y*y - R*R;  // 初始偏差
    int n = abs(xe - xs) + abs(ye - ys);  // 总步数
    
    while (n > 0) {
        if (F >= 0) {
            // 圆外/圆上，向 -X 走
            x--;
            F = F - 2*x - 1;  // 注意：x 已更新，公式用新 x
        } else {
            // 圆内，向 +Y 走
            y++;
            F = F + 2*y - 1;  // 注意：y 已更新，公式用新 y
        }
        n--;
        // 这里可以输出脉冲信号给电机
    }
}

3.7 不同象限的进给规则

第一象限搞定了，其他象限怎么办？其实原理一样，只是进给方向不同。我整理了一张表：

象限	圆弧方向	F ≥ 0 进给	F < 0 进给
第一象限	逆圆弧	-X	+Y
第一象限	顺圆弧	-Y	+X
第二象限	逆圆弧	+Y	-X
第二象限	顺圆弧	+X	-Y
第三象限	逆圆弧	+X	-Y
第三象限	顺圆弧	+Y	-X
第四象限	逆圆弧	-Y	+X
第四象限	顺圆弧	-X	+Y

嗯，这张表看起来有点复杂。但如果你仔细观察，会发现一个规律：逆圆弧的进给方向，其实就是把坐标轴往圆内方向推；顺圆弧则相反。记住这个规律，比死记硬背强多了。