3. 逐点比较法（二）：直线插补的推导与实现、圆弧插补的推导与实现、不同象限的处理
上一章我们聊了逐点比较法的基本思路——说白了就是“走一步看一步，偏了就纠”。这一章咱们把它落到实处，把直线和圆弧的插补逻辑完整推一遍，再把不同象限的坑填上。
我个人习惯把逐点比较法叫做“最朴素的插补算法”，因为它不需要三角函数，不需要矩阵运算，全靠加减法和符号判断就能干活。早期数控系统里，这玩意儿是绝对的主力。
3.1 直线插补的推导
先看第一象限的直线。假设起点在原点 O(0,0)，终点是 E(Xe,Ye)，当前刀具在 P(Xi,Yi)。
判断点在直线哪一侧，我用的是“偏差函数”这个概念：
F = Xi * Ye - Yi * Xe为什么是这个式子？你想想看，如果 P 点在直线上，那么三角形 OPE 的面积就是零。这个 F 值其实就是叉积的 2 倍，正负号直接告诉你点在直线的哪一侧。
核心判断逻辑：
- F = 0：点在直线上，走 +X 方向
- F > 0：点在直线上方，走 +X 方向（逼近直线）
- F < 0：点在直线下方，走 +Y 方向（逼近直线）
每次走一步后，偏差函数怎么更新？这里有个小技巧——不用重新算乘法，用递推公式就行。
如果走了 +X 步（Xi+1 = Xi + 1）：
F_new = (Xi+1) * Ye - Yi * Xe = F_old + Ye如果走了 +Y 步（Yi+1 = Yi + 1）：
F_new = Xi * Ye - (Yi+1) * Xe = F_old - Xe嗯，这里要注意：递推公式里只有加减法，没有乘法。这就是逐点比较法能在老式步进电机系统上跑得飞快的原因。
实战经验：我在调试一台老式铣床时遇到过一个问题——终点判断。光靠 F 值归零是不够的，因为可能刚好跨过终点。我的做法是加一个计数器，记录 X 和 Y 方向的总步数，走完就停。
3.2 直线插补的实现
下面给一个 C 风格的伪代码实现。注意，这里只处理第一象限，后面再扩展。
void line_interp(int Xe, int Ye) {
int F = 0;
int step = Xe + Ye; // 总步数
int x = 0, y = 0;
while (step > 0) {
if (F >= 0) {
// 走 +X
x++;
F -= Ye; // 注意：这里减 Ye，不是加
printf("Step +X, pos(%d,%d)\n", x, y);
} else {
// 走 +Y
y++;
F += Xe;
printf("Step +Y, pos(%d,%d)\n", x, y);
}
step--;
}
}避坑指南：我曾经在递推公式的符号上栽过跟头。F >= 0 时走 +X，F 要 减 Ye；F < 0 时走 +Y，F 要 加 Xe。这个符号和偏差函数的定义方式有关，不同教材可能正负相反，但逻辑必须自洽。
3.3 圆弧插补的推导
圆弧插补比直线复杂一些。以第一象限逆圆为例，圆心在原点，起点 S(Xs,Ys)，终点 E(Xe,Ye)，当前点 P(Xi,Yi)。
偏差函数用点到圆心的距离平方差来定义：
F = Xi² + Yi² - R²其中 R 是圆弧半径。判断逻辑：
- F = 0：点在圆弧上
- F > 0：点在圆外
- F < 0：点在圆内
对于逆圆，进给方向是：
- F >= 0：点在圆外或圆上，走 -X 方向（向圆内靠）
- F < 0：点在圆内，走 +Y 方向（向圆外靠）
递推公式同样可以简化。走 -X 步（Xi-1 = Xi - 1）：
F_new = (Xi-1)² + Yi² - R² = F_old - 2*Xi + 1走 +Y 步（Yi+1 = Yi + 1）：
F_new = Xi² + (Yi+1)² - R² = F_old + 2*Yi + 1你看，递推公式里只有加减法和乘 2（左移一位），没有平方运算。这就是逐点比较法的精髓——用递推把复杂计算变成简单操作。
3.4 圆弧插补的实现
void arc_interp_ccw(int Xs, int Ys, int Xe, int Ye) {
int R2 = Xs*Xs + Ys*Ys; // 半径平方
int F = 0;
int x = Xs, y = Ys;
int step = abs(Xe - Xs) + abs(Ye - Ys); // 近似总步数
while (step > 0) {
if (F >= 0) {
// 走 -X
x--;
F -= 2*x + 1; // 注意：x 已经减了，所以是 2*x+1
printf("Step -X, pos(%d,%d)\n", x, y);
} else {
// 走 +Y
y++;
F += 2*y + 1; // y 已经加了，所以是 2*y+1
printf("Step +Y, pos(%d,%d)\n", x, y);
}
step--;
}
}个人经验：圆弧插补的终点判断比直线麻烦。我习惯用“当前点与终点的坐标差”来判断是否到达，而不是单纯依赖步数计数器。因为圆弧路径可能不是单调的，步数估算容易出错。
3.5 不同象限的处理
不同象限的处理，说白了就是“符号变换”。直线和圆弧在不同象限的进给方向、偏差更新符号都会变化。
先看直线插补的象限处理。下表总结了四个象限的进给方向：
| 象限 | F >= 0 进给方向 | F < 0 进给方向 | F >= 0 偏差更新 | F < 0 偏差更新 |
|---|---|---|---|---|
| 第一象限 | +X | +Y | F - Ye | F + Xe |
| 第二象限 | -X | +Y | F + Ye | F - Xe |
| 第三象限 | -X | -Y | F + Ye | F - Xe |
| 第四象限 | +X | -Y | F - Ye | F + Xe |
你发现规律了吗？其实只要把终点坐标的绝对值代入第一象限的算法，然后根据象限决定正负方向就行。我习惯的做法是：先把终点坐标取绝对值，算出步数，再根据象限映射到实际方向。
圆弧插补的象限处理更复杂一些，因为圆弧有顺圆和逆圆之分，还有跨象限的情况。下面这张图展示了第一象限逆圆和顺圆的进给方向对比：
跨象限的圆弧处理，我个人的做法是“分段处理”。把圆弧按象限边界（0°、90°、180°、270°）切成若干段，每段单独调用对应象限的插补逻辑。这样代码清晰，不容易出错。
曾经踩过的坑：有一次做跨象限圆弧插补，我偷懒没分段，直接用统一的递推公式。结果在象限边界附近出现了“抖动”——刀具在边界上来回走，就是不往前走。后来老老实实分段处理，问题就解决了。
3.6 本章小结
逐点比较法的直线和圆弧插补，核心就三点：
- 偏差函数：直线用叉积，圆弧用距离平方差
- 递推公式：把乘法和平方变成加减法
- 象限映射：用绝对值统一处理，再映射到实际方向
这套方法虽然看起来“土”，但在资源受限的嵌入式系统里，它比 DDA（数字微分分析器）更稳定，比数据采样法更简单。我到现在做低成本的步进电机控制方案，首选还是逐点比较法。