3、控制系统建模：电机数学模型、机械系统模型、传感器模型简化

说实话，很多初学者一听到「建模」两个字就头大。我当年也是这样，总觉得建模是数学家干的事，跟我做控制的有什么关系？

后来被现实狠狠教育了一回——有次我调一个伺服系统，PID参数怎么整都振荡，最后发现是模型里忽略了一个摩擦项。嗯，从那以后我再也不敢跳过建模这一步了。

这一章，咱们就把三环控制里最常用的三个模型拆开揉碎。不搞复杂的偏微分方程，只讲你写代码、调参数时真正用得上的东西。

3.1 电机数学模型：从电压到转速的桥梁

电机是执行器的核心。你给一个电压，它转起来。但转多快、能输出多大扭矩，这中间有个数学关系。

我习惯把直流电机模型分成两部分：电气方程和机械方程。

3.4.1 电气方程

说白了就是基尔霍夫电压定律。电枢回路上有三个电压分量：

• 电阻压降：i · R
• 电感压降：L · di/dt
• 反电动势：Ke · ω（转速越高，反电动势越大）

合起来就是：

U = i · R + L · di/dt + Ke · ω

你想想看，如果电机堵转了（ω=0），反电动势消失，电流会瞬间飙升。我在项目里见过有人忘了这个，直接把驱动板烧了。

3.4.2 机械方程

电机轴上的力矩平衡：

J · dω/dt = Kt · i - B · ω - TL

其中：

• J：转动惯量（电机转子+负载折算）
• Kt：扭矩常数（通常 Kt ≈ Ke）
• B：粘性阻尼系数
• TL：负载扭矩

3.2 机械系统模型：惯量、阻尼与弹性

电机后面连着负载，可能是齿轮、丝杠、皮带或者直接连一个转台。这些东西加在一起，构成了机械系统。

我一般把机械系统简化成三种基本元件：

大多数工业应用里，机械系统可以简化为一个二阶振荡环节：

G(s) = 1 / (J · s² + B · s + K)

为什么会这样？因为惯量储能、阻尼耗能、刚度储能，三者构成了一个弹簧-质量-阻尼系统。

3.3 传感器模型简化：编码器、霍尔与电流采样

传感器是控制系统的眼睛。你模型建得再好，传感器不准，一切都是白搭。

3.3.1 编码器模型

增量式编码器输出两路正交脉冲（A、B），通过计数得到位置。速度则通过对位置差分得到。

但这里有个坑：差分求速度会放大噪声。我习惯在速度计算后面加一个低通滤波器，截止频率设为速度环带宽的 3~5 倍。

// 伪代码：带滤波的速度计算
static float prev_pos = 0;
static float filtered_vel = 0;
float raw_vel = (current_pos - prev_pos) / dt;
filtered_vel = 0.8f * filtered_vel + 0.2f * raw_vel;  // 一阶低通
prev_pos = current_pos;

3.3.2 霍尔传感器模型

霍尔传感器只能给出 60° 或 120° 电角度的离散位置。用于方波控制还行，但做正弦波控制就太粗糙了。

我个人的做法是：用霍尔信号估算转速，然后用这个转速去推算连续位置，作为启动时的临时反馈。等编码器信号稳定了再切换。

3.3.3 电流采样模型

电流采样通常用采样电阻+运放，或者霍尔电流传感器。采样值经过 ADC 读入单片机。

这里要注意两个问题：

• 采样时刻： 必须在 PWM 载波的中点采样，避开开关噪声。
• 偏置校准： 运放有零漂，上电后先采一次零电流值，后面所有采样值都减去这个偏置。

3.4 知识体系总览

下面这张图把本章的三个模型串起来了。你看一眼，就能明白它们在三环控制里的位置。

3.5 模型简化原则：什么时候可以偷懒？

做工程不是做学术。模型不是越精确越好，而是够用就好。我总结了几条简化原则：

1. 忽略小时间常数： 如果电感时间常数 L/R 远小于电流环采样周期，直接忽略电感。
2. 合并惯量： 电机和负载的惯量可以折算到同一根轴上，用一个 J 表示。
3. 线性化摩擦： 库仑摩擦（静摩擦）是非线性的，但在低速场合可以用粘性阻尼近似。
4. 传感器延迟等效为一阶惯性： 编码器采样延迟、电流采样滤波延迟，都可以用一个 1/(T·s+1) 代替。