2、速度环的数学模型：从电机方程到速度环传递函数

做速度环调试，很多人一上来就调 PID 参数。调来调去，效果不好。为什么？

说白了，你不了解被控对象的脾气。电机就是你的被控对象。它的数学模型，就是它的性格说明书。今天我们就来把这份说明书读懂。

2.1 直流电机的等效电路与基本方程

我们先从最简单的直流电机入手。你想想看，一个直流电机，从电路角度看，就是个电阻串个电感，再反串一个反电动势。

Ua = Ra * Ia + La * dIa/dt + Ea

反电动势 Ea 怎么来的？电机一转起来，转子切割磁感线，自然就产生了。它和转速成正比：

Ea = Ke * ω

Ke 是反电动势系数，ω 是电机角速度。这个公式，我建议你刻在脑子里。很多现场问题，追根溯源都能回到这里。

再说转矩。电机产生的电磁转矩 Te 和电枢电流成正比：

Te = Kt * Ia

Kt 是转矩系数。理想情况下，Ke 和 Kt 在数值上是相等的（SI 单位制下）。嗯，这里要注意，实际电机因为制造工艺，会有微小偏差，但工程上我们通常认为它们相等。

最后是运动方程。电机轴上的转矩平衡：

Te - TL = J * dω/dt + B * ω

TL 是负载转矩，J 是转动惯量，B 是粘性阻尼系数。我在项目中遇到过，很多人把 B 忽略掉，结果高速时模型总对不上。低速可以忽略，高速不行。

2.2 从时域方程到传递函数

有了上面三个方程，我们就可以拉普拉斯变换了。为什么要变换？因为微分方程在时域里解起来太麻烦，到了复频域，乘除就能搞定。

假设初始条件为零，对三个方程分别做拉氏变换：

1. 电压方程：Ua(s) = (Ra + La*s) * Ia(s) + Ke * ω(s)
2. 转矩方程：Te(s) = Kt * Ia(s)
3. 运动方程：Te(s) - TL(s) = (J*s + B) * ω(s)

把这三个方程联立，消去中间变量 Ia(s) 和 Te(s)，就能得到从 Ua(s) 到 ω(s) 的传递函数。我习惯先画个框图，理清信号流向，再推导公式。

从框图可以直观看到：电枢传递函数、转矩系数、机械传递函数串联，反电动势构成内部反馈。负载转矩 TL(s) 作为扰动输入。

忽略负载扰动（TL=0），推导传递函数：

ω(s) / Ua(s) = Kt / [ (Ra + La*s) * (J*s + B) + Kt * Ke ]

这个式子看起来有点复杂。但在实际工程中，我们经常做简化。电气时间常数 Te = La/Ra，机械时间常数 Tm = J/B。如果 Te 远小于 Tm（通常如此），我们可以忽略电感 La 的影响。

ω(s) / Ua(s) = (1/Ke) / (Tm * s + 1)

2.3 速度环的闭环传递函数

有了被控对象模型，我们加上速度环控制器。典型的速度环结构如下：

ω_ref(s) → [PI控制器] → [被控对象] → ω(s)
                ↑                        |
                └──────── 反馈 ──────────┘

PI 控制器的传递函数为：

C(s) = Kp + Ki/s = Kp * (1 + 1/(Ti * s))

其中 Ti = Kp/Ki 是积分时间常数。

闭环传递函数为：

G_cl(s) = C(s) * G(s) / [1 + C(s) * G(s)]

代入简化后的 G(s) = 1/(Ke * (Tm * s + 1))，得到：

G_cl(s) = (Kp * s + Ki) / (Ke * Tm * s² + Ke * s + Kp * s + Ki)

整理成标准二阶系统形式：

G_cl(s) = (2*ζ*ωn * s + ωn²) / (s² + 2*ζ*ωn * s + ωn²)

其中：

看到这里，你应该明白了：速度环的响应速度，本质上由 ωn 和 ζ 决定。ωn 越大，响应越快；ζ 在 0.4~0.8 之间，超调量和响应时间能取得较好的平衡。

2.4 模型参数辨识：理论到实践的桥梁

模型有了，参数怎么来？你不可能每次都去查电机手册。我习惯用实验法辨识。

常用方法：电流阶跃响应法

1. 给电机一个恒定的电压阶跃（速度环开环）
2. 记录转速响应曲线
3. 从曲线上读取稳态值和时间常数

举个例子：

这个方法虽然粗糙，但足够工程用了。如果你需要更高精度，可以用扫频法或最小二乘拟合。不过说实话，对于大多数速度环应用，阶跃响应法已经能给出可用的参数。