3. 数学模型建立：从物理电路到传递函数

做电流环设计，我最怕的就是一上来就扔公式。很多工程师觉得数学是门槛，其实不然。数学模型说白了，就是把你手里的电路板，翻译成控制理论能听懂的语言。翻译对了，后面的振荡分析才有根有据。

这一节，我们就从最基础的 Buck 电路出发，一步步推导出电流环的开环和闭环传递函数。我会尽量用口语化的方式讲，但该有的公式一个都不会少。

先看一个典型的峰值电流模式 Buck 电路。功率级包括：输入电压 V_in、开关管 Q1、续流二极管 D1、电感 L、输出电容 C 和负载 R_L。

为什么要建小信号模型？因为开关电源本质上是非线性系统。开关管要么开要么关，电感电流是三角波。但控制环路关心的是“在稳态工作点附近，扰动怎么传播”。小信号模型就是把这个非线性系统，在直流工作点附近线性化。

我个人习惯用状态空间平均法。这个方法的核心思想是：在一个开关周期内，用平均值代替瞬时值。具体步骤分三步：

以电感电流为例。导通阶段，电感两端电压是 V_in - V_o；关断阶段，电感两端电压是 -V_o。平均后得到：

L · di/dt = d · (V_in - V_o) + (1-d) · (-V_o)
          = d · V_in - V_o

嗯，这里要注意，d 是占空比。加上小信号扰动：d = D + d̂，V_in = V_in + v̂_in，V_o = V_o + v̂_o，i = I + î。代入并忽略二阶小项，得到电感电流的小信号方程：

L · dî/dt = D · v̂_in + V_in · d̂ - v̂_o

同理，输出电容节点的小信号方程为：

C · dv̂_o/dt = î - v̂_o / R_L

这两个方程，就是电流环建模的起点。

核心要点：小信号模型只在直流工作点附近有效。如果工作点变化很大（比如从轻载跳到重载），模型精度会下降。这时候需要大信号模型或分段线性化处理。

有了小信号方程，接下来就是拉普拉斯变换。把时域方程变成 s 域方程，方便我们分析频率特性。

对电感电流方程做拉氏变换：

sL · î(s) = D · v̂_in(s) + V_in · d̂(s) - v̂_o(s)

对输出电容方程做拉氏变换：

sC · v̂_o(s) = î(s) - v̂_o(s) / R_L

我们关心的是占空比 d̂ 到电感电流 î 的传递函数。假设输入电压扰动 v̂_in = 0（输入端已经稳压），联立两个方程，消去 v̂_o，得到：

G_id(s) = î(s) / d̂(s) = V_in · (sC + 1/R_L) / [s²LC + sL/R_L + 1]

这个传递函数描述的是：占空比变化，如何引起电感电流变化。它有一个二阶分母，典型的 LC 双极点系统。

我在项目中遇到过一个问题：按照这个公式算出来的穿越频率，和实测总是差 20% 左右。后来发现，是忽略了电感的 DCR（直流电阻）和电容的 ESR（等效串联电阻）。加上这些寄生参数后，模型才和实测吻合。

考虑寄生参数后的传递函数更复杂一些：

G_id(s) = V_in · (sC·R_c + 1) / [s²LC·(1+R_c/R_L) + s(L/R_L + C·(R_c+R_L)) + 1]

其中 R_c 是电容 ESR，R_L 是负载电阻。这个公式看起来吓人，但实际用起来，你会发现它更贴近真实情况。

实战技巧：如果只是快速估算，可以忽略寄生参数。但做最终设计时，一定要把 DCR 和 ESR 加进去。我习惯在仿真模型里保留这些参数，调试时再逐个去掉，看哪个参数影响最大。

电流环的开环模型，包括：功率级传递函数 G_id(s)、电流采样增益 H_i、PWM 调制器增益 F_m，以及电流补偿器 G_ci(s)。

开环传递函数 T_i(s) 定义为：

T_i(s) = G_ci(s) · F_m · G_id(s) · H_i

其中：

开环传递函数有什么用？它决定了电流环的稳定性。我们通过分析 T_i(s) 的幅频和相频特性，来判断系统是否有足够的相位裕度和增益裕度。

我记得有一次调试一个 48V 转 12V 的电源，电流环总是有 10kHz 左右的振荡。用开环传递函数一算，发现相位裕度只有 15 度。后来把补偿器的零点往低频移了一点，相位裕度提高到 50 度，振荡就消失了。

避坑指南：我曾经在计算 F_m 时，忽略了斜坡补偿的影响。峰值电流模式在占空比大于 50% 时，会出现次谐波振荡。如果不加斜坡补偿，开环模型会给出错误的稳定性结论。一定要把斜坡补偿的斜率加到 F_m 里。

闭环模型描述的是：参考电流 i_ref 到实际电感电流 i_L 的传递关系。从控制框图看，闭环传递函数为：

G_ii(s) = i_L(s) / i_ref(s) = T_i(s) / [1 + T_i(s)]

这个公式很简洁，但内涵丰富。当开环增益很大时（低频段），G_ii(s) ≈ 1，说明电流能很好地跟踪参考。当开环增益很小时（高频段），G_ii(s) ≈ T_i(s)，说明电流环失去跟踪能力。

闭环模型的带宽，就是开环穿越频率。一般设计在开关频率的 1/10 到 1/5。比如 100kHz 的开关频率，电流环带宽设在 10kHz~20kHz 比较合理。

带宽设得太高，容易引入噪声；设得太低，动态响应慢。这是个 trade-off。我一般先按 1/10 开关频率设计，然后根据负载瞬态响应测试结果微调。

下面这张图总结了从物理电路到闭环模型的完整推导路径：

为了方便查阅，我把电流环建模中涉及的关键参数整理成了一张表：

参数	符号	典型值	对稳定性的影响
电感	L	10~100 μH	决定双极点位置，L 越大，极点频率越低
输出电容	C	100~1000 μF	与 L 共同决定极点，C 越大，极点频率越低
电容 ESR	R_c	1~50 mΩ	引入零点，提高相位裕度
开关频率	f_s	50~500 kHz	决定电流环带宽上限
采样增益	H_i	0.05~0.2 V/A	影响开环增益，H_i 越大，穿越频率越高
斜坡补偿	S_e	0.5~1.0 S_n	抑制次谐波振荡，但会降低增益

建模检查清单：